giúp

Để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm ở hai phía khác của đường tròn, ta cần tìm điểm cắt của đường tròn với trục đối xứng của đồ thị của hàm số. Đường tròn có phương trình $x^2+y^2-4x+3=0$ tương đương với $(x-2)^2+y^2=1$. Vậy đường tròn này có tâm là $(2,0)$ và bán kính bằng $1$. Trục đối xứng của đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3}-(m+1)x^{2}+\frac{4}{3}(m+1)^{3}$ là đường thẳng $x=m+1$. Để điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm ở hai phía khác của đường tròn, ta cần tìm giá trị $m$ sao cho đường thẳng $x=m+1$ cắt đường tròn $(x-2)^2+y^2=1$ ở hai điểm khác phía tâm đường tròn $(2,0)$. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là hai điểm cắt của đường thẳng $x=m+1$ với đường tròn $(x-2)^2+y^2=1$. Khi đó, ta có: - Tọa độ của điểm $A$ là $(m+1, y_A)$ với $y_A$ là nghiệm của phương trình $(m+1-2)^2+y_A^2=1$, tức là $y_A=\pm\sqrt{1-(m-1)^2}$. - Tọa độ của điểm $B$ là $(m+1, y_B)$ với $y_B$ là nghiệm của phương trình $(m+1-2)^2+y_B^2=1$, tức là $y_B=\pm\sqrt{1-(m+3)^2}$. Để hai điểm $A$ và $B$ nằm ở hai phía khác của tâm đường tròn $(2,0)$, ta cần có $y_A$ và $y_B$ trái dấu. Tức là: $\sqrt{1-(m-1)^2}\cdot\sqrt{1-(m+3)^2}< 0$ Phương trình trên tương đương với $(m-1)(m+3)>0$. Vậy $m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$. Để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, ta cần thêm điều kiện $m+1< 0$ (để đồ thị của hàm số có đỉnh). Kết hợp với điều kiện trên, ta được $m\in(-3,-1)$. Để tìm giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta cần tìm giá trị $m$ sao cho đường thẳng $x=m+1$ là trục đối xứng của đồ thị của hàm số. Tức là, phải có: $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^{3}-(m+1)x^{2}+\frac{4}{3}(m+1)^{3}\right)\bigg|_{x=m+1}=0$ Tương đương với: $x^2-2(m+1)x+4(m+1)^2=0$ Phương trình này có nghiệm kép $x=m+1$. Vậy, để đường thẳng $x=m+1$ là trục đối xứng của đồ thị của hàm số, ta cần có $m+1$ là nghiệm kép của phương trình trên. Tức là: $4(m+1)^2