Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại B, đường cao BH. Cho AB = 15cm, BC = 20cm. a) Chứng minh: △CHB và △CBA đồng dạng, tính tỉ số đồng dạng. b) Chứng minh: AB² = AH.AC c) Tính độ dài AC, BH. d) Kẻ HK _|_...

a) Ta có $\angle CHB = \angle CBA$ (do cùng nằm trên đường thẳng $BC$), và $\angle HCB = \angle BAC$ (do là góc ở chân đường cao trong tam giác vuông). Vậy $\triangle CHB \sim \triangle CBA$ theo góc góc. Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng: $\frac{HB}{AB} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow HB = \frac{AB^2}{BC} = \frac{15^2}{20} = 11.25 \text{ cm}$ b) Ta có: $\begin{aligned} AB^2 &= AH^2 + BH^2 \\ &= AH^2 + \frac{AB^4}{BC^2} \\ \Rightarrow AH^2 &= AB^2 - \frac{AB^4}{BC^2} \\ &= AB^2 \left(1 - \frac{AB^2}{BC^2}\right) \\ &= 15^2 \cdot \frac{3^2}{4^2} \\ &= \frac{405}{4} \text{ cm}^2 \end{aligned}$ Vậy $AH = \frac{3\sqrt{45}}{2} = \frac{9\sqrt{5}}{2}$ cm. Từ đó, ta có $AC = AH + HC = AH + HB = \frac{9\sqrt{5}}{2} + 11.25 = \frac{9\sqrt{5}+45}{4}$ cm. c) Để tính độ dài $BH$, ta dùng định lí Pythagoras trong tam giác vuông $\triangle BHC$: $BH = \sqrt{BC^2 - HC^2} = \sqrt{20^2 - \left(\frac{9\sqrt{5}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{715}}{2} \text{ cm}$ d) Ta có $\angle BIK = \angle BIC - \angle KIC = 90^\circ - \angle HCB - \angle ACB = \angle ABC$. Tương tự, ta cũng có $\angle IBK = \angle BCA$. Vậy $\triangle BKI \sim \triangle BCA$ theo góc góc.