Cho hình thang MNPQ, (MN song song với PQ), có MP = NQ. Qua N kẻ đường thẳng song song với MP, cắt đường thẳng PQ tại K. Chứng minh: a) Tam Giác NKQ là tam giác cân; b) Tam giác MPQ = Tam giác NQP; c)...

a) Ta có MN // PQ và MP = NQ.

Qua N kẻ đường thẳng song song với MP, gọi đường thẳng đó là d.

Vì MP // NK (do đường thẳng song song), ta có: ∠NKP=∠MPN.

Vì NQ // MP (do đường thẳng song song), ta có: ∠NKP=∠PNQ.

Do đó, ∠MPN=∠PNQ.

Từ đó, ta thấy rằng tam giác NKQ có hai góc bằng nhau, nên tam giác NKQ là tam giác cân.

b) Ta có MP = NQ (theo đề bài).

Vì N đang nằm trên đường thẳng d (song song với MP), nên ta có: ∠MPN=∠NKQ (cùng là các góc đối với d).

Vì tam giác NKQ là tam giác cân (đã chứng minh ở câu a), ta có: ∠NKQ=∠NQK.

Từ đó, ta có: ∠MPN=∠NQK.

Vì MP = NQ, ta cũng có:∠MPO=∠NQO (cùng là các góc đối với đường PQ).

Từ các góc tương đương đã chứng minh được, ta suy ra tam giác MPO và tam giác NOP là hai tam giác đồng dạng (có cả ba góc bằng nhau).

c) Để chứng minh MNPQ là hình thang cân, ta cần chứng minh MP = NQ và MN = PQ.

Ta đã biết MP = NQ (theo đề bài).

Xét tam giác MPN và tam giác PNQ, ta có:

∠MPN=∠PNQ (cùng là các góc đối với đường d).

∠MPN+∠PNQ=180∘ (tổng các góc trong tam giác).

Từ đó, ta suy ra: ∠MPN=∠PNQ=90∘.

Do đó, tam giác MPN và tam giác PNQ là hai tam giác vuông.

Khi đó, theo tính chất của tam giác vuông, ta có:

2MN2=MP2+NP2 (định lý Pythagoras cho tam giác MPN).

2PQ2=PN2+NQ2 (định lý Pythagoras cho tam giác PNQ).

Vì MP = NQ (theo đề bài), ta có: 2MN2=MP2+NP2=NQ2+NP2=PQ2.

Từ đó, ta suy ra: MN = PQ.

Vậy, ta đã chứng minh được MNPQ là hình thang cân, với MP = NQ và MN = PQ.