aaaaaaaaaa

Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số $y=x^3-3x-1$ có đồ thị (C). a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $(2;1).$ Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số và khảo sát tính chất của nó. Hàm số đã cho là $y=x^3-3x-1$. Đạo hàm của nó là $y'=3x^2-3$. Bước 2: Tìm điểm cực trị Đặt $y'=0$, ta có $3x^2-3=0 \Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm 1$. Thay $x=\pm 1$ vào phương trình ban đầu, ta được hai điểm cực trị là $(1,-3)$ và $(-1,-1)$. Bước 3: Vẽ đồ thị Với các thông tin đã tìm được, chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2;1)$ Phương trình tiếp tuyến của một hàm số tại một điểm nhất định có dạng $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$. Trong trường hợp này, $f'(x)=3x^2-3$, do đó tiếp tuyến tại điểm $(2;1)$ có phương trình: $y - 1 = (12)(x - 2) \Leftrightarrow y = 12x - 23$. Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $(2;1)$ là $y = 12x - 23$. Câu 2. (1,5 điểm) Giải phương trình $log_2(x-2)+log_2(x-1)=2.$ Đầu tiên, ta sử dụng quy tắc logarit để kết hợp hai số hạng trên cùng một vế của phương trình. Ta có: \[log_2((x-2)(x-1)) = 2\] Tiếp theo, ta chuyển đổi phương trình từ dạng logarit sang dạng mũ bằng cách áp dụng quy tắc chuyển đổi cơ bản. Điều này cho ta: \[(x-2)(x-1) = 2^2\] Sau khi giải phương trình bậc hai, ta được: \[x^2 - 3x + 2 = 4\] Sắp xếp lại các số hạng, ta có: \[x^2 - 3x - 2 = 0\] Giải phương trình bậc hai này, ta được nghiệm là \(x_1=4\) và \(x_2=-1\). Tuy nhiên, do điều kiện của logarit là tham số trong hàm logarit phải lớn hơn không (\(x>0\)), nên \(x_1=4\) là nghiệm duy nhất thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là \(\{4\}\). Câu 3. (2,5 điểm) Cho mặt phẳng $(P):2x-3y+5z-1=0.$ a) Viết phương trình đường thẳng đi qua $I(1;-2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng (P) b) Lập phương trình mặt phẳng (&)đi qua hai điểm $A(1;0;1)$ và $B(5;2;3)$ và vuông góc với (P). a) Đường thẳng đi qua điểm \(I(1;-2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P): 2x-3y+5z-1=0\) sẽ có vector chỉ phương là vector pháp tuyến của mặt phẳng (P), tức là \(\overrightarrow{n} = (2;-3;5)\). Phương trình đường thẳng có dạng: \[\frac{{x - x_0}}{{a}} = \frac{{y - y_0}}{{b}} = \frac{{z - z_0}}{{c}}\] Thay các giá trị vào, ta được: \[\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{-3} = \frac{{z - 3}}{5}\] b) Mặt phẳng (&) đi qua hai điểm \(A(1;0;1)\) và \(B(5;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng (P). Vector chỉ hướng AB là \(\overrightarrow{AB} = B - A = (4;2;2)\). Vector này cùng với vector pháp tuyến của mặt phẳng (P), tức là \(\overrightarrow{n} = (2;-3;5)\), sẽ tạo thành vector chỉ hướng cho mặt phẳng (&) theo công thức tính tích có hướng. Tính tích có hướng của hai vector, ta được: \[\overrightarrow{n_{&}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{n} = (4*5 - 2*2; 2*2 - 4*5; 4*(-3) - 2*2) = (16;-16;-14)\] Phương trình mặt phẳng (&) có dạng: \[a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0\] Thay các giá trị vào, ta được: \[16(x - 1) - 16(y - 0) -14(z-1)=0\] Sau khi rút gọn, ta được phương trình của mặt phẳng (&) là: \[16x-16y-14z+30=0\]