Câu 1: a) Vẽ đồ thị hàm số b) Giải phương trình c) Giải hệ phương trình sau:
Loại bài toán: Bài toán này gồm ba phần, a) vẽ đồ thị hàm số, b) giải phương trình bậc hai và c) giải hệ phương trình.
a) Vẽ đồ thị hàm số
Đây là một hàm số bậc hai với đồ thị là một parabol mở lên. Đỉnh của parabol nằm ở gốc tọa độ (0,0).
b) Giải phương trình
Đây là một phương trình bậc hai dạng . Ta có thể giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Ở đây, , và . Thay các giá trị này vào công thức ta được:
Vì vậy, ta có hai nghiệm là và .
c) Giải hệ phương trình sau:
Đây là một hệ phương trình tuyến tính hai ẩn. Ta có thể giải nó bằng cách sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Phương pháp thế:
Từ phương trình thứ nhất, ta có .
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
Giải ra ta được .
Thay vào một trong hai phương trình ban đầu, ví dụ như phương trình thứ nhất, ta được .
Vậy nghiệm của hệ là .
Câu 2. (1,5đ) Sau giờ tan học, hai nhóm bạn cùng đi ăn mì cay và uống trà sữa tại một quán ăn. Nhóm I ăn 3 tô mì cay, uống 2 ly trà sữa và trả hết 140000 đồng. Nhóm II ăn 4 tô mì cay, uống 5 ly trà sữa và trả hết 245000 đồng. Tính giá tiền mỗi tô mì cay và mỗi ly trà sữa là bao nhiêu?
Để giải bài toán này, ta gọi x là giá tiền của mỗi tô mì cay và y là giá tiền của mỗi ly trà sữa.
Từ các điều kiện đã cho, ta có hệ phương trình sau:
Giải hệ phương trình trên, ta có:
Vậy giá tiền của mỗi tô mì cay là VND và giá tiền của mỗi ly trà sữa là VND.
Câu 3. (2,5) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I. K là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia Cl tại D. a) Chứng minh: Các tứ giác ACMD; BCKM nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh:
Loại bài toán: Bài toán về hình học không gian, đặc biệt là về các tính chất của đường tròn và tứ giác nội tiếp.
Giải bài toán:
a) Chứng minh tứ giác ACMD và BCKM nội tiếp được đường tròn.
- Tứ giác ACMD:
Ta có (do vuông góc với và vuông góc với ) và (do cùng chắp cạnh ).
Vậy, theo định lý tứ giác nội tiếp, ta có tứ giác ACMD nội tiếp được đường tròn.
- Tứ giác BCKM:
Tương tự, ta có (do vuông góc với và vuông góc với ) và .
Vậy, theo định lý tứ giác nội tiếp, ta có tứ giác BCKM cũng nội tiếp được đường tròn.
b) Chứng minh:
Do tứ giác ACMD nội tiếp được đường tròn nên ta có:
Do tứ giác BCKM nội tiếp được đường tròn nên ta có:
Từ (1) và (2), ta có:
Vậy, ta đã chứng minh được .