giúp mình với ạ
Cho biểu thức $P=(\frac{x-4}{x^3-1}+\frac1{x-1}):(1-\frac{x-8}{x^2+x+1})$,a) Rút gọn biểu thức P,b) Tính giá trị của biểu thức P khi x là nghiệm của phương trình: $x^2-3x+2=0$,c) Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

Question

giúp mình với ạ
 Cho biểu thức $P=(\frac{x-4}{x^3-1}+\frac1{x-1}):(1-\frac{x-8}{x^2+x+1})$,a) Rút gọn biểu thức P,b) Tính giá trị của biểu thức P khi x là nghiệm của phương trình: $x^2-3x+2=0$,c) Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

Accepted Answer

a) Để rút gọn biểu thức $P$, ta thực hiện các bước sau:
\begin{align*}
P &= \left(\frac{x-4}{x^3-1}+\frac{1}{x-1}ight):\left(1-\frac{x-8}{x^2+x+1}ight) \
&= \frac{\frac{x-4}{x^3-1}+\frac{1}{x-1}}{1-\frac{x-8}{x^2+x+1}} \
&= \frac{\frac{x-4+x^3-1}{x^3-1}}{\frac{x^2+x+1-x+8}{x^2+x+1}} \
&= \frac{x + 3}{x^2 + 9}.
\end{align*}

Vậy biểu thức đã được rút gọn là $\boxed{\frac{x + 3}{x^2 + 9}}$.

b) Để tính giá trị của biểu thức $P$ khi $x$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$, ta thay $x$ vào biểu thức và tính toán:
Khi $x = 1$:
\begin{align*}
P &= \frac{1 + 3}{1^2 + 9} = \boxed{\frac{4}{10} = \frac{2}{5}}.
\end{align*}

Khi $x = 2$:
\begin{align*}
P &= \frac{2 + 3}{2^2 + 9} = \boxed{\frac{5}{13}}.
\end{align*}

c) Để tìm giá trị nguyên của $x$ để $P$ có giá trị là số nguyên, ta cần giải phương trình $\dfrac{x+3}{x^2+9}$ là số nguyên. Ta nhận thấy chỉ có một giá trị nguyên của x để P là số nguyên, đó là x=-3. Vậy kết quả cuối cùng là $\boxed{-3}$.