Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = 1$, ta cần giải phương trình $f(x) = 1$.
Đối với hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$, ta cần giải phương trình $x^3 - 3x^2 + 2x = 1$.
Rút gọn phương trình, ta được:
$x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0.$
Đây là một phương trình bậc ba, và giải phương trình này không đơn giản. Tuy nhiên, ta có thể nhẩm nghiệm bằng cách thử các giá trị nguyên dương của $x$. Thử $x = 1$, ta thấy $1^3 - 3.1^2 + 2.1 - 1 = 0$, do đó $x = 1$ là một nghiệm của phương trình.
Sau khi tìm được nghiệm $x = 1$, ta có thể chia đa thức $x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ cho $x - 1$ để được một đa thức bậc hai:
$(x^3 - 3x^2 + 2x - 1) \div (x - 1) = x^2 - 2x + 1.$
Phương trình $x^2 - 2x + 1 = 0$ có nghiệm kép $x = 1$.
Vậy phương trình $x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0$ chỉ có một nghiệm duy nhất $x = 1$.
Do đó, đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2x$ và đường thẳng $y = 1$ chỉ có một giao điểm, tức là số giao điểm của chúng là 1.
Đáp án: B.
Câu 26.
Đồ thị của hàm số $y=x^3-3x+2$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0. Để tìm tung độ của điểm đó, ta thay $x=0$ vào hàm số.
Khi $x=0$, ta có $y=0^3-3.0+2=2$.
Vậy đồ thị của hàm số $y=x^3-3x+2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
Đáp án: C.
Câu 27.
Đồ thị hàm số $y=-x^4+4x^2-3$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0.
Thay $x=0$ vào hàm số, ta được:
$y=-(0)^4+4*(0)^2-3=-3$.
Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3.
Đáp án: D.
Câu 28.
Đồ thị hàm số $y=-x^3+2x^2-1$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0.
Thay $x=0$ vào hàm số, ta được:
$y=-(0)^3+2(0)^2-1=-1$.
Vậy đồ thị hàm số $y=-x^3+2x^2-1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1.
Đáp án: C.
Câu 29.
Đồ thị của hàm số $y=-x^4-2x^2+3$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0.
Thay $x=0$ vào hàm số, ta được:
$y=-(0)^4-2(0)^2+3=3$.
Vậy đồ thị của hàm số $y=-x^4-2x^2+3$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
Đáp án: D.
Câu 30.
Đồ thị hàm số $y=-2x^3+3x^2-5$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0.
Thay $x=0$ vào hàm số, ta được:
$y=-2(0)^3+3(0)^2-5=-5.$
Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -5.
Đáp án: A.
Câu 31.
Đồ thị của hàm số $y=-x^4-3x^2+1$ cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng 0.
Để tìm tung độ của điểm đó, ta thay $x=0$ vào hàm số:
$y = -(0)^4 - 3(0)^2 + 1 = 1$.
Vậy đồ thị của hàm số $y=-x^4-3x^2+1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
Đáp án: C.
Câu 32.
Để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm, thì ta phải có $f(0) < 0$.
Xét từng đáp án:
A. $f(0) = \frac{0-1}{0-3} = \frac{1}{3} > 0$.
B. $f(0) = \frac{0+1}{0+4} = \frac{1}{4} > 0$.
C. $f(0) = \frac{0-1}{0+2} = -\frac{1}{2} < 0$.
D. $f(0) = \frac{2*0+1}{0+5} = \frac{1}{5} > 0$.
Chỉ có đáp án C thỏa mãn $f(0) < 0$.
Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ cắt trục tung tại điểm có tung độ âm.
Đáp án: C.
Câu 33.
Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1$ và trục hoành, ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x+1=0$.
Đặt $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Để tìm số nghiệm của phương trình $f(x) = 0$, ta có thể dùng phương pháp nhẩm nghiệm.
Nhận thấy $x = 1$ là nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ vì $f(1) = 1^3 - 3.1 + 1 = 0$.
Sau khi nhẩm được một nghiệm, ta có thể chia đa thức $f(x)$ cho $(x - 1)$ để phân tích thành nhân tử:
$f(x) = x^3 - 3x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1).$
Phương trình $f(x) = 0$ tương đương với $(x - 1)(x^2 + x - 1) = 0$.
Từ đó, ta có nghiệm thứ hai là nghiệm của phương trình $x^2 + x - 1 = 0$.
Giải phương trình $x^2 + x - 1 = 0$ bằng công thức nghiệm, ta được:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.$
Vậy phương trình $f(x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt, tức là đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Do đó, số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1$ và trục hoành là 3.
Đáp án: A.
Câu 34.
Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+7x$ với trục hoành, ta cần giải phương trình $-x^3+7x=0$.
Rút gọn phương trình, ta được:
\[-x^3 + 7x = 0 \Leftrightarrow x(-x^2 + 7) = 0.\]
Từ đây, ta có hai nghiệm: $x=0$ và $x=\pm\sqrt{7}$.
Vậy, đồ thị hàm số $y=-x^3+7x$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Đáp án: B.
Câu 35.
Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+3x$ với trục hoành, ta cần giải phương trình $-x^3+3x=0$.
Rút gọn phương trình, ta được: $x(-x^2+3)=0$.
Từ đây, ta có hai nghiệm $x=0$ và $x^2=3$, tức $x=\sqrt{3}$ và $x=-\sqrt{3}$.
Vậy, đồ thị hàm số $y=-x^3+3x$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Đáp án: C.
Câu 36.
Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+6x$ với trục hoành, ta cần giải phương trình $-x^3+6x=0$.
Rút gọn phương trình, ta được $x(-x^2+6)=0$.
Từ đây, ta có hai nghiệm $x=0$ và $x^2=6$, tức là $x=\sqrt{6}$ và $x=-\sqrt{6}$.
Vậy, đồ thị hàm số $y=-x^3+6x$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Đáp án: B.
Câu 37.
Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+5x$ với trục hoành, ta cần giải phương trình $-x^3+5x=0$.
Rút gọn phương trình, ta được: $x(-x^2+5)=0$.
Từ đây, ta có hai nghiệm $x=0$ và $x^2=5$, tức là $x=\sqrt{5}$ và $x=-\sqrt{5}$.
Vậy, đồ thị hàm số $y=-x^3+5x$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt, tức là số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là 3.
Đáp án: A.
Câu 38.
Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ và trục hoành, ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x=0$.
Rút gọn phương trình, ta được: $x(x^2-3)=0$.
Từ đây, ta có các nghiệm $x=0$, $x=\sqrt{3}$, $x=-\sqrt{3}$.
Vậy, đồ thị hàm số $y=x^3-3x$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Đáp án: B.
Câu 39.
Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-2x^3+5x$ và trục hoành, ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm $-2x^3+5x=0$.
Rút gọn phương trình, ta được:
$-2x^3+5x=0 \Leftrightarrow x(-2x^2+5)=0.$
Từ đây, ta có hai nghiệm $x=0$ và $-2x^2+5=0$.
Giải phương trình $-2x^2+5=0$, ta được:
$-2x^2+5=0 \Leftrightarrow -2x^2=-5 \Leftrightarrow x^2=\frac{5}{2} \Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{5}{2}}.$
Vậy phương trình $-2x^3+5x=0$ có 3 nghiệm phân biệt, tức là đồ thị hàm số $y=-2x^3+5x$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Đáp án: B.
Câu 40.
Để xác định sự tương giao của đồ thị (C) với trục hoành, ta cần giải phương trình hoành độ giao điểm:
\[(x-3)(x^2+2) = 0.\]
Phương trình này tương đương với:
\[x-3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2+2 = 0.\]
Giải phương trình $x-3 = 0$ ta được $x = 3$.
Giải phương trình $x^2+2 = 0$ ta được $x^2 = -2$, nhưng vì $x^2$ luôn không âm nên phương trình này vô nghiệm.
Vậy, đồ thị (C) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = 3$.
Mệnh đề đúng là: "Đồ thị (C) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = 3$."