Câu 31.
Để hàm số $y=\frac{x+1}{x+3m}$ nghịch biến trên khoảng $(6;+\infty)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số nhỏ hơn 0 trên khoảng này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
$y' = \left(\frac{x+1}{x+3m}\right)' = \frac{(x+1)'(x+3m) - (x+1)(x+3m)'}{(x+3m)^2} = \frac{(1)(x+3m) - (x+1)(1)}{(x+3m)^2} = \frac{x + 3m - x - 1}{(x+3m)^2} = \frac{3m - 1}{(x+3m)^2}$
Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm nhỏ hơn 0
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(6;+\infty)$, ta cần:
$\frac{3m - 1}{(x+3m)^2} < 0$
Vì $(x+3m)^2$ luôn dương với mọi $x$, nên ta chỉ cần:
$3m - 1 < 0$
Bước 3: Giải bất phương trình
$3m - 1 < 0$
$3m < 1$
$m < \frac{1}{3}$
Bước 4: Xác định giá trị nguyên của $m$
Vì $m$ phải là số nguyên, ta có:
$m = 0$
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x+1}{x+3m}$ nghịch biến trên khoảng $(6;+\infty)$.
Đáp án đúng là: A. 0
Câu 32.
Để hàm số $y=\frac{x+2}{x+5m}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;-10)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số dương trên khoảng đó.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
\[ y' = \left(\frac{x+2}{x+5m}\right)' = \frac{(x+2)'(x+5m) - (x+2)(x+5m)'}{(x+5m)^2} = \frac{(1)(x+5m) - (x+2)(1)}{(x+5m)^2} = \frac{x + 5m - x - 2}{(x+5m)^2} = \frac{5m - 2}{(x+5m)^2} \]
Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm dương.
\[ y' > 0 \Rightarrow \frac{5m - 2}{(x+5m)^2} > 0 \]
Vì $(x+5m)^2$ luôn dương (trừ trường hợp $x = -5m$, nhưng trong khoảng $(-\infty; -10)$, $x$ không thể bằng $-5m$), nên ta chỉ cần:
\[ 5m - 2 > 0 \Rightarrow m > \frac{2}{5} \]
Bước 3: Kiểm tra điều kiện để hàm số có nghĩa trên khoảng $(-\infty; -10)$.
Hàm số $y=\frac{x+2}{x+5m}$ có nghĩa khi mẫu số khác 0, tức là $x + 5m \neq 0$. Trong khoảng $(-\infty; -10)$, ta cần đảm bảo rằng $-10 \neq -5m$, hay $m \neq 2$.
Bước 4: Kết hợp các điều kiện.
\[ m > \frac{2}{5} \text{ và } m \neq 2 \]
Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên.
Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn $m > \frac{2}{5}$ và $m \neq 2$ là $m = 1, 3, 4, 5, ...$
Vậy có vô số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x+2}{x+5m}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -10)$.
Đáp án đúng là: B. Vô số
Câu 33.
Để hàm số $y=\frac{x+6}{x+5m}$ nghịch biến trên khoảng $(10;+\infty)$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số nhỏ hơn 0 trên khoảng này.
Tính đạo hàm của hàm số:
\[ y' = \left(\frac{x+6}{x+5m}\right)' = \frac{(x+5m)'(x+6)-(x+5m)(x+6)'}{(x+5m)^2} = \frac{1 \cdot (x+6) - (x+5m) \cdot 1}{(x+5m)^2} = \frac{x + 6 - x - 5m}{(x+5m)^2} = \frac{6 - 5m}{(x+5m)^2} \]
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(10;+\infty)$, ta cần:
\[ y' < 0 \]
\[ \frac{6 - 5m}{(x+5m)^2} < 0 \]
Vì $(x+5m)^2 > 0$ với mọi $x$ trong khoảng $(10;+\infty)$, nên ta chỉ cần:
\[ 6 - 5m < 0 \]
\[ 6 < 5m \]
\[ m > \frac{6}{5} \]
Do đó, $m$ phải lớn hơn $\frac{6}{5}$. Các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện này là $m = 2, 3, 4, ...$.
Vậy có vô số giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=\frac{x+6}{x+5m}$ nghịch biến trên khoảng $(10;+\infty)$.
Đáp án đúng là: A. Vô số
Câu 34.
Để hàm số $y=\frac{mx-4}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$.
Bước 1: Xác định điều kiện xác định của hàm số:
Hàm số $y=\frac{mx-4}{x-m}$ có mẫu số là $x-m$, do đó điều kiện xác định là $x \neq m$.
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số:
$y' = \left(\frac{mx-4}{x-m}\right)' = \frac{(mx-4)'(x-m) - (mx-4)(x-m)'}{(x-m)^2} = \frac{m(x-m) - (mx-4)}{(x-m)^2} = \frac{-m^2 + 4}{(x-m)^2}$
Bước 3: Điều kiện để hàm số đồng biến:
Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty)$, đạo hàm $y'$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 trên khoảng này.
$\frac{-m^2 + 4}{(x-m)^2} \geq 0$
Do $(x-m)^2$ luôn dương (trừ trường hợp $x=m$), nên ta chỉ cần xét dấu của tử số $-m^2 + 4$.
$-m^2 + 4 \geq 0$
$m^2 \leq 4$
$-2 \leq m \leq 2$
Bước 4: Kiểm tra thêm điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty)$:
- Hàm số phải xác định trên toàn bộ khoảng $(-1;+\infty)$, tức là $m$ không được nằm trong khoảng này.
- Do đó, $m$ phải nhỏ hơn hoặc bằng -1 hoặc lớn hơn hoặc bằng 2.
Tuy nhiên, vì $m$ phải thỏa mãn $-2 \leq m \leq 2$, nên ta chỉ cần kiểm tra phần giao của hai điều kiện này.
Kết hợp các điều kiện trên, ta có:
$-2 \leq m \leq -1$
Vậy tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{mx-4}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty)$ là $[-2; -1]$.
Đáp án đúng là: C. $[-2; -1]$
Câu 35.
Để hàm số $y=\frac{mx-1}{m-4x}$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;\frac14)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số nhỏ hơn 0 trên khoảng này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
$y' = \frac{(mx-1)'(m-4x)-(mx-1)(m-4x)'}{(m-4x)^2} = \frac{m(m-4x)+(mx-1)4}{(m-4x)^2} = \frac{m^2-4mx+4mx-4}{(m-4x)^2} = \frac{m^2-4}{(m-4x)^2}$
Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm nhỏ hơn 0
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;\frac14)$, ta cần:
$\frac{m^2-4}{(m-4x)^2} < 0$
Do $(m-4x)^2$ luôn dương (trừ trường hợp $m=4x$, nhưng trong khoảng $(-\infty;\frac14)$, $m$ không thể bằng $4x$), nên ta chỉ cần quan tâm đến tử số:
$m^2 - 4 < 0$
Bước 3: Giải bất phương trình
$m^2 - 4 < 0$
$(m-2)(m+2) < 0$
Từ đây, ta thấy rằng $m$ phải nằm giữa hai giá trị $-2$ và $2$.
Vậy, điều kiện của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;\frac14)$ là:
$-2 < m < 2$
Đáp án đúng là: C. $-2 < m < 2$.
Câu 36.
Để hàm số $y=\frac{mx-2m+3}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty)$, ta cần tìm điều kiện của m sao cho đạo hàm của hàm số nhỏ hơn 0 trên khoảng này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
\[ y' = \left(\frac{mx-2m+3}{x+m}\right)' = \frac{(mx-2m+3)'(x+m) - (mx-2m+3)(x+m)'}{(x+m)^2} \]
\[ = \frac{m(x+m) - (mx-2m+3)}{(x+m)^2} = \frac{mx + m^2 - mx + 2m - 3}{(x+m)^2} = \frac{m^2 + 2m - 3}{(x+m)^2} \]
Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty)$, ta cần:
\[ y' < 0 \Rightarrow \frac{m^2 + 2m - 3}{(x+m)^2} < 0 \]
Do $(x+m)^2 > 0$ với mọi $x \neq -m$, nên ta chỉ cần:
\[ m^2 + 2m - 3 < 0 \]
Bước 3: Giải bất phương trình $m^2 + 2m - 3 < 0$.
\[ m^2 + 2m - 3 = (m+3)(m-1) < 0 \]
Vẽ bảng xét dấu:
\[
\begin{array}{c|ccc}
m & -\infty & -3 & 1 & +\infty \\
\hline
m+3 & - & 0 & + & + \\
m-1 & - & - & 0 & + \\
(m+3)(m-1) & + & 0 & - & + \\
\end{array}
\]
Từ bảng xét dấu, ta thấy $(m+3)(m-1) < 0$ khi $-3 < m < 1$.
Bước 4: Xác định các giá trị nguyên của m trong khoảng $-3 < m < 1$.
Các giá trị nguyên của m là: $-2, -1, 0$.
Vậy tập hợp S gồm các giá trị nguyên của m là $\{-2, -1, 0\}$.
Số phần tử của S là 3.
Đáp án đúng là: B. 3.
Câu 37.
Để hàm số $y=\frac{x+18}{x+4m}$ nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số nhỏ hơn 0 trên khoảng này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
$y' = \left(\frac{x+18}{x+4m}\right)' = \frac{(x+18)'(x+4m) - (x+18)(x+4m)'}{(x+4m)^2} = \frac{(1)(x+4m) - (x+18)(1)}{(x+4m)^2} = \frac{x + 4m - x - 18}{(x+4m)^2} = \frac{4m - 18}{(x+4m)^2}$
Bước 2: Xác định điều kiện để đạo hàm nhỏ hơn 0
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty)$, ta cần:
$\frac{4m - 18}{(x+4m)^2} < 0$
Do $(x+4m)^2$ luôn dương với mọi $x$, nên ta chỉ cần:
$4m - 18 < 0$
$4m < 18$
$m < \frac{9}{2}$
Bước 3: Tìm các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên
Các giá trị nguyên của $m$ nhỏ hơn $\frac{9}{2}$ là: $m = ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$.
Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện.
Đáp án: A. Vô số.
Câu 38.
Để hàm số $y=\frac{mx+9}{4x+m}$ nghịch biến trên khoảng $(0;4)$ thì $y' < 0$ trên khoảng $(0;4)$
Ta có $y'=\frac{m^2-36}{(4x+m)^2}$.
Để hàm số $y=\frac{mx+9}{4x+m}$ nghịch biến trên khoảng $(0;4)$ thì $y' < 0$ trên khoảng $(0;4)$
$\Rightarrow m^2-36 < 0 \Rightarrow -6 < m < 6$.
Vậy có 11 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Chọn đáp án B
Câu 39.
Để hàm số $y=\frac{-mx+3m+4}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $(1;+\infty)$, ta cần tìm các giá trị thực của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên khoảng này.
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
$y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{-mx + 3m + 4}{x - m}\right)$
Áp dụng công thức đạo hàm của thương:
$y' = \frac{(-m)(x - m) - (-mx + 3m + 4)}{(x - m)^2}$
Rút gọn biểu thức:
$y' = \frac{-mx + m^2 + mx - 3m - 4}{(x - m)^2}$
$y' = \frac{m^2 - 3m - 4}{(x - m)^2}$
Bước 2: Xác định điều kiện để hàm số nghịch biến
Hàm số nghịch biến khi đạo hàm nhỏ hơn hoặc bằng 0:
$\frac{m^2 - 3m - 4}{(x - m)^2} \leq 0$
Vì $(x - m)^2$ luôn dương (trừ trường hợp $x = m$, nhưng $x$ thuộc khoảng $(1; +\infty)$ nên không xảy ra), ta chỉ cần xét dấu của tử số:
$m^2 - 3m - 4 \leq 0$
Bước 3: Giải bất phương trình
Tìm nghiệm của phương trình bậc hai:
$m^2 - 3m - 4 = 0$
Áp dụng công thức nghiệm:
$m = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$
$m_1 = 4$ và $m_2 = -1$
Vẽ đồ thị parabol $y = m^2 - 3m - 4$ và xác định khoảng giá trị của $m$ sao cho biểu thức nhỏ hơn hoặc bằng 0:
Biểu thức $m^2 - 3m - 4$ nhỏ hơn hoặc bằng 0 trong khoảng $[-1, 4]$.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện để hàm số có nghĩa
Hàm số $y = \frac{-mx + 3m + 4}{x - m}$ có nghĩa khi mẫu số khác 0:
$x - m \neq 0$
Trong khoảng $(1; +\infty)$, ta cần đảm bảo $m$ không nằm trong khoảng này để tránh mẫu số bằng 0.
Do đó, $m$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Kết hợp điều kiện này với kết quả từ bước 3, ta có:
$-1 < m \leq 1$
Vậy đáp án đúng là:
B. $-1 < m \leq 1$.
Câu 40.
Để hàm số $y=\frac{3x+18}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-3)$, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho hàm số này nghịch biến trên khoảng đó.
Hàm số $y=\frac{3x+18}{x-m}$ có dạng $\frac{ax+b}{cx+d}$. Để hàm số này nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-3)$, ta cần:
1. Tìm giao điểm của đường thẳng $y=3x+18$ và đường thẳng $y=x-m$.
2. Xác định điều kiện của $m$ để giao điểm này nằm ngoài khoảng $(-\infty;-3)$.
Giao điểm của hai đường thẳng $y=3x+18$ và $y=x-m$ là:
\[ 3x + 18 = x - m \]
\[ 2x = -m - 18 \]
\[ x = \frac{-m - 18}{2} \]
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-3)$, giao điểm này phải lớn hơn hoặc bằng -3:
\[ \frac{-m - 18}{2} \geq -3 \]
\[ -m - 18 \geq -6 \]
\[ -m \geq 12 \]
\[ m \leq -12 \]
Do đó, $m$ phải thỏa mãn điều kiện $m \leq -12$.
Bây giờ, ta cần tìm số giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $(-2020; 2020)$ sao cho $m \leq -12$.
Các giá trị nguyên của $m$ từ -2020 đến -12 là:
\[ -2020, -2019, ..., -12 \]
Số lượng các giá trị này là:
\[ (-12) - (-2020) + 1 = 2009 \]
Vậy có 2009 giá trị nguyên của $m$ sao cho hàm số $y=\frac{3x+18}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-3)$.
Đáp án đúng là: A. 2009.