hãy giúp tôi

Câu 1. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x^2 - x + 1}{x + 2} \), ta thực hiện phép chia đa thức. Ta chia \(-2x^2 - x + 1\) cho \(x + 2\): 1. Chia \(-2x^2\) cho \(x\) để được \(-2x\). 2. Nhân \(-2x\) với \(x + 2\) để được \(-2x^2 - 4x\). 3. Trừ \(-2x^2 - 4x\) từ \(-2x^2 - x + 1\) để được \(3x + 1\). 4. Chia \(3x\) cho \(x\) để được \(3\). 5. Nhân \(3\) với \(x + 2\) để được \(3x + 6\). 6. Trừ \(3x + 6\) từ \(3x + 1\) để được \(-5\). Như vậy, ta có: \[ \frac{-2x^2 - x + 1}{x + 2} = -2x + 3 + \frac{-5}{x + 2} \] Khi \(x\) tiến đến vô cùng (\(x \to \pm \infty\)), phần \(\frac{-5}{x + 2}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = -2x + 3 \] Trong phương trình này, \(a = -2\) và \(b = 3\). Vậy: \[ a + b = -2 + 3 = 1 \] Đáp số: \(a + b = 1\). Câu 2. Gọi chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là a và b (đơn vị: mét). Vì bác Hưng chỉ cần rào ba mặt của thửa ruộng (không cần rào phía cạnh con sông), nên ta có: a + 2b = 280 Từ đó suy ra: a = 280 - 2b Diện tích S của thửa ruộng là: S = a × b Thay a = 280 - 2b vào biểu thức trên, ta được: S = (280 - 2b) × b S = 280b - 2b^2 Để tìm giá trị lớn nhất của S, ta sử dụng đạo hàm. Xét hàm số f(b) = 280b - 2b^2, ta có: f'(b) = 280 - 4b Đặt f'(b) = 0 để tìm điểm cực đại: 280 - 4b = 0 4b = 280 b = 70 Thay b = 70 vào biểu thức của a, ta được: a = 280 - 2 × 70 a = 140 Vậy thửa ruộng có diện tích lớn nhất khi chiều dài là 140 m và chiều rộng là 70 m. Diện tích lớn nhất của thửa ruộng là: S = 140 × 70 S = 9800 m² Đáp số: 9800 m² Câu 3. Để tìm thời điểm \( t = a \) (giây) mà số lượng vi khuẩn nhiều nhất, chúng ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( N(t) = 100 + \frac{10t}{10 + t^2} \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( N(t) \). \[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(100 + \frac{10t}{10 + t^2}\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ N'(t) = \frac{(10)(10 + t^2) - (10t)(2t)}{(10 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{100 + 10t^2 - 20t^2}{(10 + t^2)^2} \] \[ N'(t) = \frac{100 - 10t^2}{(10 + t^2)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( N'(t) = 0 \). \[ \frac{100 - 10t^2}{(10 + t^2)^2} = 0 \] \[ 100 - 10t^2 = 0 \] \[ 10t^2 = 100 \] \[ t^2 = 10 \] \[ t = \sqrt{10} \quad \text{hoặc} \quad t = -\sqrt{10} \] Vì \( t \geq 0 \), ta chỉ xét \( t = \sqrt{10} \). Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định cực đại. Chúng ta kiểm tra dấu của \( N'(t) \) ở hai bên điểm \( t = \sqrt{10} \): - Khi \( t < \sqrt{10} \), \( 100 - 10t^2 > 0 \), do đó \( N'(t) > 0 \). - Khi \( t > \sqrt{10} \), \( 100 - 10t^2 < 0 \), do đó \( N'(t) < 0 \). Do đó, \( N(t) \) đạt cực đại tại \( t = \sqrt{10} \). Vậy giá trị của \( a \) là \( \sqrt{10} \). Đáp số: \( a = \sqrt{10} \). Câu 4. Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích V của khối hộp chữ nhật không có nắp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định kích thước của khối hộp chữ nhật: - Cạnh của tấm nhôm ban đầu là 3 dm. - Bác Tùng cắt bốn góc mỗi góc là hình vuông có cạnh x dm. - Sau khi cắt, chiều dài và chiều rộng của phần còn lại của tấm nhôm sẽ là \(3 - 2x\) dm. - Chiều cao của khối hộp chữ nhật sẽ là x dm. 2. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật: \[ V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} \] Thay các giá trị vào công thức: \[ V = (3 - 2x) \times (3 - 2x) \times x \] \[ V = (3 - 2x)^2 \times x \] 3. Xác định điều kiện của x: - Để tấm nhôm còn lại có thể gấp thành một khối hộp chữ nhật, cạnh x phải nhỏ hơn nửa cạnh ban đầu của tấm nhôm. - Do đó, \(0 < x < 1.5\). 4. Tìm giá trị lớn nhất của V: - Ta có \(V = (3 - 2x)^2 \times x\). - Để tìm giá trị lớn nhất của V, ta có thể sử dụng đạo hàm. 5. Áp dụng đạo hàm: - Gọi \(f(x) = (3 - 2x)^2 \times x\). - Tìm đạo hàm của f(x): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[(3 - 2x)^2 \times x] \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: \[ f'(x) = (3 - 2x)^2 \times 1 + x \times 2(3 - 2x)(-2) \] \[ f'(x) = (3 - 2x)^2 - 4x(3 - 2x) \] \[ f'(x) = (3 - 2x)(3 - 2x - 4x) \] \[ f'(x) = (3 - 2x)(3 - 6x) \] 6. Tìm điểm cực đại: - Đặt \(f'(x) = 0\): \[ (3 - 2x)(3 - 6x) = 0 \] \[ 3 - 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3 - 6x = 0 \] \[ x = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{2} \] - Vì \(0 < x < 1.5\), ta chỉ xét \(x = \frac{1}{2}\). 7. Kiểm tra giá trị của V tại \(x = \frac{1}{2}\): \[ V = (3 - 2 \times \frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{2} \] \[ V = (3 - 1)^2 \times \frac{1}{2} \] \[ V = 2^2 \times \frac{1}{2} \] \[ V = 4 \times \frac{1}{2} \] \[ V = 2 \text{ dm}^3 \] Vậy giá trị lớn nhất của thể tích V là 2 dm³. Câu 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) trên đoạn \([-1; 0]\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số. Hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) xác định khi \( x + 2 \neq 0 \), tức là \( x \neq -2 \). Vì đoạn \([-1; 0]\) không chứa điểm \( x = -2 \), nên hàm số xác định trên toàn bộ đoạn này. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left( \frac{2x + 1}{x + 2} \right)' = \frac{(2x + 1)'(x + 2) - (2x + 1)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{2(x + 2) - (2x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2} \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm. \[ y' = \frac{3}{(x + 2)^2} \] Vì \( (x + 2)^2 > 0 \) cho mọi \( x \neq -2 \), nên \( y' > 0 \) trên đoạn \([-1; 0]\). Điều này cho thấy hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) là hàm số đồng biến trên đoạn \([-1; 0]\). Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 0]\). Vì hàm số đồng biến trên đoạn \([-1; 0]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ xảy ra tại điểm đầu của đoạn, tức là tại \( x = -1 \). Tính giá trị của hàm số tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = \frac{2(-1) + 1}{-1 + 2} = \frac{-2 + 1}{1} = \frac{-1}{1} = -1 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) trên đoạn \([-1; 0]\) là \(-1\). Đáp số: \(-1\) Câu 6. Để tìm giá trị của \( P = 2024a - 25b \), chúng ta cần xác định các tham số \( a \) và \( b \) từ đồ thị của hàm số \( y = \frac{3x + a}{x + b} \). Bước 1: Xác định đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang từ đồ thị. - Đường tiệm cận đứng là \( x = -b \). - Đường tiệm cận ngang là \( y = 3 \). Bước 2: Xác định điểm giao của đồ thị với trục \( Oy \). - Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{a}{b} \). Bước 3: Xác định điểm giao của đồ thị với trục \( Ox \). - Khi \( y = 0 \), \( 0 = \frac{3x + a}{x + b} \Rightarrow 3x + a = 0 \Rightarrow x = -\frac{a}{3} \). Bước 4: Xác định các giá trị \( a \) và \( b \) từ các thông tin trên. - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Do đó, \( b = 1 \). - Từ đồ thị, ta thấy điểm giao với trục \( Oy \) là \( (0, 2) \). Do đó, \( \frac{a}{b} = 2 \Rightarrow a = 2 \). Bước 5: Tính giá trị của \( P \). \[ P = 2024a - 25b \] \[ P = 2024 \times 2 - 25 \times 1 \] \[ P = 4048 - 25 \] \[ P = 4023 \] Đáp số: \( P = 4023 \).