Câu 1.
Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{-2x^2 - x + 1}{x + 2} \), ta thực hiện phép chia đa thức.
Ta chia \(-2x^2 - x + 1\) cho \(x + 2\):
1. Chia \(-2x^2\) cho \(x\) để được \(-2x\).
2. Nhân \(-2x\) với \(x + 2\) để được \(-2x^2 - 4x\).
3. Trừ \(-2x^2 - 4x\) từ \(-2x^2 - x + 1\) để được \(3x + 1\).
4. Chia \(3x\) cho \(x\) để được \(3\).
5. Nhân \(3\) với \(x + 2\) để được \(3x + 6\).
6. Trừ \(3x + 6\) từ \(3x + 1\) để được \(-5\).
Như vậy, ta có:
\[ \frac{-2x^2 - x + 1}{x + 2} = -2x + 3 + \frac{-5}{x + 2} \]
Khi \(x\) tiến đến vô cùng (\(x \to \pm \infty\)), phần \(\frac{-5}{x + 2}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là:
\[ y = -2x + 3 \]
Trong phương trình này, \(a = -2\) và \(b = 3\). Vậy:
\[ a + b = -2 + 3 = 1 \]
Đáp số: \(a + b = 1\).
Câu 2.
Gọi chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là a và b (đơn vị: mét). Vì bác Hưng chỉ cần rào ba mặt của thửa ruộng (không cần rào phía cạnh con sông), nên ta có:
a + 2b = 280
Từ đó suy ra:
a = 280 - 2b
Diện tích S của thửa ruộng là:
S = a × b
Thay a = 280 - 2b vào biểu thức trên, ta được:
S = (280 - 2b) × b
S = 280b - 2b^2
Để tìm giá trị lớn nhất của S, ta sử dụng đạo hàm. Xét hàm số f(b) = 280b - 2b^2, ta có:
f'(b) = 280 - 4b
Đặt f'(b) = 0 để tìm điểm cực đại:
280 - 4b = 0
4b = 280
b = 70
Thay b = 70 vào biểu thức của a, ta được:
a = 280 - 2 × 70
a = 140
Vậy thửa ruộng có diện tích lớn nhất khi chiều dài là 140 m và chiều rộng là 70 m. Diện tích lớn nhất của thửa ruộng là:
S = 140 × 70
S = 9800 m²
Đáp số: 9800 m²
Câu 3.
Để tìm thời điểm \( t = a \) (giây) mà số lượng vi khuẩn nhiều nhất, chúng ta cần tìm giá trị cực đại của hàm số \( N(t) = 100 + \frac{10t}{10 + t^2} \).
Bước 1: Tính đạo hàm của \( N(t) \).
\[ N'(t) = \frac{d}{dt}\left(100 + \frac{10t}{10 + t^2}\right) \]
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
\[ N'(t) = \frac{(10)(10 + t^2) - (10t)(2t)}{(10 + t^2)^2} \]
\[ N'(t) = \frac{100 + 10t^2 - 20t^2}{(10 + t^2)^2} \]
\[ N'(t) = \frac{100 - 10t^2}{(10 + t^2)^2} \]
Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( N'(t) = 0 \).
\[ \frac{100 - 10t^2}{(10 + t^2)^2} = 0 \]
\[ 100 - 10t^2 = 0 \]
\[ 10t^2 = 100 \]
\[ t^2 = 10 \]
\[ t = \sqrt{10} \quad \text{hoặc} \quad t = -\sqrt{10} \]
Vì \( t \geq 0 \), ta chỉ xét \( t = \sqrt{10} \).
Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm để xác định cực đại.
Chúng ta kiểm tra dấu của \( N'(t) \) ở hai bên điểm \( t = \sqrt{10} \):
- Khi \( t < \sqrt{10} \), \( 100 - 10t^2 > 0 \), do đó \( N'(t) > 0 \).
- Khi \( t > \sqrt{10} \), \( 100 - 10t^2 < 0 \), do đó \( N'(t) < 0 \).
Do đó, \( N(t) \) đạt cực đại tại \( t = \sqrt{10} \).
Vậy giá trị của \( a \) là \( \sqrt{10} \).
Đáp số: \( a = \sqrt{10} \).
Câu 4.
Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích V của khối hộp chữ nhật không có nắp, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định kích thước của khối hộp chữ nhật:
- Cạnh của tấm nhôm ban đầu là 3 dm.
- Bác Tùng cắt bốn góc mỗi góc là hình vuông có cạnh x dm.
- Sau khi cắt, chiều dài và chiều rộng của phần còn lại của tấm nhôm sẽ là \(3 - 2x\) dm.
- Chiều cao của khối hộp chữ nhật sẽ là x dm.
2. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật:
\[
V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao}
\]
Thay các giá trị vào công thức:
\[
V = (3 - 2x) \times (3 - 2x) \times x
\]
\[
V = (3 - 2x)^2 \times x
\]
3. Xác định điều kiện của x:
- Để tấm nhôm còn lại có thể gấp thành một khối hộp chữ nhật, cạnh x phải nhỏ hơn nửa cạnh ban đầu của tấm nhôm.
- Do đó, \(0 < x < 1.5\).
4. Tìm giá trị lớn nhất của V:
- Ta có \(V = (3 - 2x)^2 \times x\).
- Để tìm giá trị lớn nhất của V, ta có thể sử dụng đạo hàm.
5. Áp dụng đạo hàm:
- Gọi \(f(x) = (3 - 2x)^2 \times x\).
- Tìm đạo hàm của f(x):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}[(3 - 2x)^2 \times x]
\]
Sử dụng quy tắc đạo hàm của tích:
\[
f'(x) = (3 - 2x)^2 \times 1 + x \times 2(3 - 2x)(-2)
\]
\[
f'(x) = (3 - 2x)^2 - 4x(3 - 2x)
\]
\[
f'(x) = (3 - 2x)(3 - 2x - 4x)
\]
\[
f'(x) = (3 - 2x)(3 - 6x)
\]
6. Tìm điểm cực đại:
- Đặt \(f'(x) = 0\):
\[
(3 - 2x)(3 - 6x) = 0
\]
\[
3 - 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3 - 6x = 0
\]
\[
x = \frac{3}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{1}{2}
\]
- Vì \(0 < x < 1.5\), ta chỉ xét \(x = \frac{1}{2}\).
7. Kiểm tra giá trị của V tại \(x = \frac{1}{2}\):
\[
V = (3 - 2 \times \frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{2}
\]
\[
V = (3 - 1)^2 \times \frac{1}{2}
\]
\[
V = 2^2 \times \frac{1}{2}
\]
\[
V = 4 \times \frac{1}{2}
\]
\[
V = 2 \text{ dm}^3
\]
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích V là 2 dm³.
Câu 5.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) trên đoạn \([-1; 0]\), ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
Hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) xác định khi \( x + 2 \neq 0 \), tức là \( x \neq -2 \). Vì đoạn \([-1; 0]\) không chứa điểm \( x = -2 \), nên hàm số xác định trên toàn bộ đoạn này.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số.
\[ y' = \left( \frac{2x + 1}{x + 2} \right)' = \frac{(2x + 1)'(x + 2) - (2x + 1)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{2(x + 2) - (2x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2} \]
Bước 3: Xét dấu của đạo hàm.
\[ y' = \frac{3}{(x + 2)^2} \]
Vì \( (x + 2)^2 > 0 \) cho mọi \( x \neq -2 \), nên \( y' > 0 \) trên đoạn \([-1; 0]\). Điều này cho thấy hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) là hàm số đồng biến trên đoạn \([-1; 0]\).
Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 0]\).
Vì hàm số đồng biến trên đoạn \([-1; 0]\), giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ xảy ra tại điểm đầu của đoạn, tức là tại \( x = -1 \).
Tính giá trị của hàm số tại \( x = -1 \):
\[ y(-1) = \frac{2(-1) + 1}{-1 + 2} = \frac{-2 + 1}{1} = \frac{-1}{1} = -1 \]
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x + 2} \) trên đoạn \([-1; 0]\) là \(-1\).
Đáp số: \(-1\)
Câu 6.
Để tìm giá trị của \( P = 2024a - 25b \), chúng ta cần xác định các tham số \( a \) và \( b \) từ đồ thị của hàm số \( y = \frac{3x + a}{x + b} \).
Bước 1: Xác định đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang từ đồ thị.
- Đường tiệm cận đứng là \( x = -b \).
- Đường tiệm cận ngang là \( y = 3 \).
Bước 2: Xác định điểm giao của đồ thị với trục \( Oy \).
- Khi \( x = 0 \), \( y = \frac{a}{b} \).
Bước 3: Xác định điểm giao của đồ thị với trục \( Ox \).
- Khi \( y = 0 \), \( 0 = \frac{3x + a}{x + b} \Rightarrow 3x + a = 0 \Rightarrow x = -\frac{a}{3} \).
Bước 4: Xác định các giá trị \( a \) và \( b \) từ các thông tin trên.
- Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Do đó, \( b = 1 \).
- Từ đồ thị, ta thấy điểm giao với trục \( Oy \) là \( (0, 2) \). Do đó, \( \frac{a}{b} = 2 \Rightarrow a = 2 \).
Bước 5: Tính giá trị của \( P \).
\[ P = 2024a - 25b \]
\[ P = 2024 \times 2 - 25 \times 1 \]
\[ P = 4048 - 25 \]
\[ P = 4023 \]
Đáp số: \( P = 4023 \).