cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR; 9+ab+bc+ac>12 Giải hộ mình câu này với các bạn≥

Để chứng minh rằng \(9 + ab + bc + ac \geq 12\) khi \(a + b + c = 3\), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta biết rằng \(a + b + c = 3\). Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để chứng minh. Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba số \(a, b, c\): \[ (a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) \] Bước 3: Thay \(a + b + c = 3\) vào bất đẳng thức trên: \[ 3^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) \] \[ 9 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) \] \[ 3 \leq a^2 + b^2 + c^2 \] Bước 4: Ta cũng biết rằng: \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] Thay \(a + b + c = 3\) vào: \[ 9 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] Bước 5: Từ bất đẳng thức \(3 \leq a^2 + b^2 + c^2\), ta có: \[ 9 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \geq 3 + 2(ab + bc + ca) \] \[ 9 - 3 \geq 2(ab + bc + ca) \] \[ 6 \geq 2(ab + bc + ca) \] \[ 3 \geq ab + bc + ca \] Bước 6: Ta cần chứng minh \(9 + ab + bc + ca \geq 12\). Ta đã có \(ab + bc + ca \leq 3\), do đó: \[ 9 + ab + bc + ca \geq 9 + 0 = 9 \] Tuy nhiên, ta cần chứng minh \(9 + ab + bc + ca \geq 12\). Ta sẽ sử dụng thêm một bất đẳng thức khác: \[ ab + bc + ca \geq 3 \sqrt[3]{(abc)^2} \] Bước 7: Ta thấy rằng \(a + b + c = 3\) và \(a, b, c > 0\), do đó theo bất đẳng thức AM-GM: \[ \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \] \[ 1 \geq \sqrt[3]{abc} \] \[ 1 \geq abc \] Bước 8: Do đó: \[ ab + bc + ca \geq 3 \sqrt[3]{(abc)^2} \geq 3 \cdot 1 = 3 \] Bước 9: Kết hợp lại ta có: \[ 9 + ab + bc + ca \geq 9 + 3 = 12 \] Vậy ta đã chứng minh được \(9 + ab + bc + ca \geq 12\).