cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn xyz=1/2,xy+yz+xz=2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=(x+y)(y+z)(z+x). Giải chậm vào nha bạn

Ta có: \[ P = (x + y)(y + z)(z + x) \] \[ = (x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz \] Thay \( xy + yz + zx = 2 \) và \( xyz = \frac{1}{2} \) vào biểu thức trên ta được: \[ P = (x + y + z) \cdot 2 - \frac{1}{2} \] \[ = 2(x + y + z) - \frac{1}{2} \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( x + y + z \). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \( x, y, z \): \[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz} \] \[ \frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] \[ x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] Do đó: \[ x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] Từ đây, ta có: \[ 2(x + y + z) \geq 2 \cdot 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] \[ 2(x + y + z) \geq 6 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] Vậy: \[ P \geq 6 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), ta cần kiểm tra khi \( x = y = z \). Ta có: \[ xyz = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \] \[ x = y = z = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] Khi đó: \[ x + y + z = 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} \] Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = 2 \cdot 3 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \] \[ = 6 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{6 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}} \]