tính lim(√n² +1 - √n )

Để tính giới hạn của biểu thức $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n})$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n} = \left(\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n}\right) \cdot \frac{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n}} \] Bước 2: Áp dụng công thức nhân liên hợp: \[ = \frac{(\sqrt{n^2 + 1})^2 - (\sqrt{n})^2}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n}} \] \[ = \frac{n^2 + 1 - n}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n}} \] \[ = \frac{n^2 + 1 - n}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n}} \] \[ = \frac{n^2 - n + 1}{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n}} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $n$: \[ = \frac{\frac{n^2 - n + 1}{n}}{\frac{\sqrt{n^2 + 1} + \sqrt{n}}{n}} \] \[ = \frac{n - 1 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}}} \] Bước 4: Tính giới hạn khi $n \to \infty$: \[ \lim_{n \to \infty} \left(n - 1 + \frac{1}{n}\right) = \infty \] \[ \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \sqrt{1 + 0} + 0 = 1 \] Do đó: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n - 1 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + \frac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{\infty}{1} = \infty \] Vậy: \[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 1} - \sqrt{n}) = \infty \]