Câu 1 tới câu 7 Giúp mình với!

Câu 1 Bài toán: Tổng và Hiệu hai Lập phương Câu hỏi: Tìm giá trị của biểu thức \(A = x^3 + y^3\) biết \(x + y = 5\) và \(xy = 6\). Câu trả lời: Để tìm giá trị của biểu thức \(A = x^3 + y^3\), ta sử dụng công thức tổng hai lập phương: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \] Bước 1: Ta đã biết \(x + y = 5\) và \(xy = 6\). Bước 2: Ta cần tính \(x^2 + y^2\). Ta sử dụng công thức: \[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \] Thay \(x + y = 5\) và \(xy = 6\) vào công thức trên: \[ x^2 + y^2 = 5^2 - 2 \cdot 6 = 25 - 12 = 13 \] Bước 3: Tiếp theo, ta tính \(x^2 - xy + y^2\): \[ x^2 - xy + y^2 = x^2 + y^2 - xy \] Thay \(x^2 + y^2 = 13\) và \(xy = 6\) vào: \[ x^2 - xy + y^2 = 13 - 6 = 7 \] Bước 4: Cuối cùng, thay vào công thức tổng hai lập phương: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = 5 \cdot 7 = 35 \] Vậy giá trị của biểu thức \(A = x^3 + y^3\) là 35. Đáp số: 35 Bài 1. Để viết các đa thức dưới dạng tích, ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) và \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). a) \(x^3 + 1\) Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) với \(a = x\) và \(b = 1\): \[x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x + 1)(x^2 - x + 1)\] b) \(27 + 8x^3\) Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) với \(a = 3\) và \(b = 2x\): \[27 + 8x^3 = 3^3 + (2x)^3 = (3 + 2x)(3^2 - 3 \cdot 2x + (2x)^2) = (3 + 2x)(9 - 6x + 4x^2)\] c) \(1 - x^3\) Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) với \(a = 1\) và \(b = x\): \[1 - x^3 = 1^3 - x^3 = (1 - x)(1^2 + 1 \cdot x + x^2) = (1 - x)(1 + x + x^2)\] d) \(27x^3 - 8\) Áp dụng hằng đẳng thức \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) với \(a = 3x\) và \(b = 2\): \[27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)((3x)^2 + 3x \cdot 2 + 2^2) = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)\] Đáp số: a) \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)\) b) \(27 + 8x^3 = (3 + 2x)(9 - 6x + 4x^2)\) c) \(1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)\) d) \(27x^3 - 8 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)\) Bài 2. a) $(x+2)(x^2-2x+4)$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, ta có: $(x+2)(x^2-2x+4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$ b) $(x-3)(x^2+3x+9)$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, ta có: $(x-3)(x^2+3x+9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$ c) $(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, ta có: $(x-3y)(x^2+3xy+9y^2) = x^3 - (3y)^3 = x^3 - 27y^3$ d) $(x^4+3x^2+9)(x^2-3)$ Áp dụng hằng đẳng thức $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$, ta có: $(x^4+3x^2+9)(x^2-3) = (x^2)^3 + (-3)^3 = x^6 - 27$ Đáp số: a) $x^3 + 8$ b) $x^3 - 27$ c) $x^3 - 27y^3$ d) $x^6 - 27$ Bài 3. a) Rút gọn biểu thức \( A = (x-y)(x^2+xy+y^2) - (x+y)(x^2-xy+y^2) \) Ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức \( (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 \) và \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 \): \[ (x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3 \] \[ (x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3 + y^3 \] Do đó: \[ A = (x^3 - y^3) - (x^3 + y^3) \] \[ A = x^3 - y^3 - x^3 - y^3 \] \[ A = -2y^3 \] b) Rút gọn biểu thức \( B = (a^2b^2-5a)(a^4b^4+5a^3b^2+25a^2) + 125a^3 \) Ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức \( (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3 \): \[ (a^2b^2 - 5a)(a^4b^4 + 5a^3b^2 + 25a^2) = (a^2b^2)^3 - (5a)^3 \] \[ = a^6b^6 - 125a^3 \] Do đó: \[ B = a^6b^6 - 125a^3 + 125a^3 \] \[ B = a^6b^6 \] Đáp số: a) \( A = -2y^3 \) b) \( B = a^6b^6 \) Bài 4. a) $(x+2)(x^2-2x+4)-x(x+3)(x-3)=26$ $x^3+8-x(x^2-16)=26$ $x^3+8-x^3+16x=26$ $16x=26-8$ $16x=18$ $x=\frac{18}{16}$ $x=\frac{9}{8}$ b) $(x-3)(x^2+3x+9)-x(x-4)(x+4)=21$ $x^3-27-x(x^2-16)=21$ $x^3-27-x^3+16x=21$ $16x=21+27$ $16x=48$ $x=\frac{48}{16}$ $x=3$ Bài 5. a) Ta có: \[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \] Thay \( x + y = 1 \) và \( xy = -1 \) vào biểu thức trên: \[ x^3 + y^3 = 1 \cdot (x^2 - (-1) + y^2) \] \[ x^3 + y^3 = 1 \cdot (x^2 + 1 + y^2) \] Ta biết rằng: \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] Thay \( x + y = 1 \) và \( xy = -1 \) vào: \[ 1^2 = x^2 + 2(-1) + y^2 \] \[ 1 = x^2 - 2 + y^2 \] \[ x^2 + y^2 = 1 + 2 \] \[ x^2 + y^2 = 3 \] Do đó: \[ x^3 + y^3 = 1 \cdot (3 + 1) \] \[ x^3 + y^3 = 1 \cdot 4 \] \[ x^3 + y^3 = 4 \] b) Ta có: \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \] Thay \( x - y = 1 \) và \( xy = 6 \) vào biểu thức trên: \[ x^3 - y^3 = 1 \cdot (x^2 + 6 + y^2) \] Ta biết rằng: \[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] Thay \( x - y = 1 \) và \( xy = 6 \) vào: \[ 1^2 = x^2 - 2(6) + y^2 \] \[ 1 = x^2 - 12 + y^2 \] \[ x^2 + y^2 = 1 + 12 \] \[ x^2 + y^2 = 13 \] Do đó: \[ x^3 - y^3 = 1 \cdot (13 + 6) \] \[ x^3 - y^3 = 1 \cdot 19 \] \[ x^3 - y^3 = 19 \] Đáp số: a) \( x^3 + y^3 = 4 \) b) \( x^3 - y^3 = 19 \) Bài 6. a) Chiều dài và chiều rộng tăng thêm a cm Thể tích tăng thêm là: 5 × a × 5 + 5 × a × 5 = 50 × a (cm^3) Đáp số: 50 × a cm^3 b) Chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều tăng thêm a cm Thể tích tăng thêm là: 5 × a × 5 + 5 × a × 5 + 5 × a × 5 + a × a × 5 + a × a × 5 + a × a × 5 = 75 × a + 15 × a × a (cm^3) Đáp số: 75 × a + 15 × a × a cm^3 Bài 7. Để chứng minh rằng \( A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 100^3 \) chia hết cho \( B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 \), ta sẽ sử dụng tính chất của tổng các số tự nhiên và tổng các bình phương. Bước 1: Xác định tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100. \[ B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 \] Theo công thức tính tổng của dãy số tự nhiên: \[ B = \frac{100(100 + 1)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 5050 \] Bước 2: Xác định tổng các bình phương từ 1 đến 100. \[ A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 100^3 \] Theo công thức tính tổng các bình phương: \[ A = \left( \frac{100(100 + 1)}{2} \right)^2 = 5050^2 \] Bước 3: Chứng minh rằng \( A \) chia hết cho \( B \). \[ A = 5050^2 \] \[ B = 5050 \] Ta thấy rằng \( A = 5050^2 \) là bình phương của \( 5050 \), do đó \( A \) chia hết cho \( B \). Kết luận: \( A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 100^3 \) chia hết cho \( B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 \).