giúp mình với nhé

Câu 2. Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần. a) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{0 - 2 + 3}{3}, \frac{-2 - 2 + 1}{3}, \frac{1 - 1 - 2}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{1}{3}, \frac{-3}{3}, \frac{-2}{3} \right) \] \[ G = \left( \frac{1}{3}, -1, -\frac{2}{3} \right) \] Ta tính các vectơ $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{GC}$: \[ \overrightarrow{GA} = A - G = \left( 0 - \frac{1}{3}, -2 + 1, 1 + \frac{2}{3} \right) = \left( -\frac{1}{3}, -1, \frac{5}{3} \right) \] \[ \overrightarrow{GB} = B - G = \left( -2 - \frac{1}{3}, -2 + 1, -1 + \frac{2}{3} \right) = \left( -\frac{7}{3}, -1, -\frac{1}{3} \right) \] \[ \overrightarrow{GC} = C - G = \left( 3 - \frac{1}{3}, 1 + 1, -2 + \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{8}{3}, 2, -\frac{4}{3} \right) \] Tổng các vectơ này: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{3} + \frac{8}{3}, -1 - 1 + 2, \frac{5}{3} - \frac{1}{3} - \frac{4}{3} \right) = \left( 0, 0, 0 \right) = \overrightarrow{0} \] Vậy đúng là $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. b) Tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ của điểm D là $(5;1;4)$. Trong hình bình hành, trung điểm của hai đường chéo trùng nhau. Ta tính trung điểm của AC và BD: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{0 + 3}{2}, \frac{-2 + 1}{2}, \frac{1 - 2}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) \] Giả sử D có tọa độ $(x_D, y_D, z_D)$, trung điểm BD: \[ M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) = \left( \frac{-2 + x_D}{2}, \frac{-2 + y_D}{2}, \frac{-1 + z_D}{2} \right) \] Để M_{AC} = M_{BD}: \[ \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \right) = \left( \frac{-2 + x_D}{2}, \frac{-2 + y_D}{2}, \frac{-1 + z_D}{2} \right) \] Từ đây suy ra: \[ \frac{3}{2} = \frac{-2 + x_D}{2} \Rightarrow 3 = -2 + x_D \Rightarrow x_D = 5 \] \[ -\frac{1}{2} = \frac{-2 + y_D}{2} \Rightarrow -1 = -2 + y_D \Rightarrow y_D = 1 \] \[ -\frac{1}{2} = \frac{-1 + z_D}{2} \Rightarrow -1 = -1 + z_D \Rightarrow z_D = 0 \] Như vậy, tọa độ của điểm D là $(5, 1, 0)$, không phải $(5, 1, 4)$. c) Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (Oxz) là $B'(-2, 0, -1)$. Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (Oxz) giữ nguyên tọa độ x và z, và tọa độ y = 0: \[ B' = (-2, 0, -1) \] Đúng là $B'(-2, 0, -1)$. d) Trên mặt phẳng (Oxy) có điểm $M(\frac{11}{4}, \frac{-1}{4}, 0)$ để $|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}|$ là nhỏ nhất. Trên mặt phẳng (Oxy), tọa độ z của M là 0. Ta tính các vectơ $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{MC}$: \[ \overrightarrow{MA} = A - M = \left( 0 - \frac{11}{4}, -2 + \frac{1}{4}, 1 - 0 \right) = \left( -\frac{11}{4}, -\frac{7}{4}, 1 \right) \] \[ \overrightarrow{MB} = B - M = \left( -2 - \frac{11}{4}, -2 + \frac{1}{4}, -1 - 0 \right) = \left( -\frac{19}{4}, -\frac{7}{4}, -1 \right) \] \[ \overrightarrow{MC} = C - M = \left( 3 - \frac{11}{4}, 1 + \frac{1}{4}, -2 - 0 \right) = \left( \frac{1}{4}, \frac{5}{4}, -2 \right) \] Tính $2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}$: \[ 2\overrightarrow{MA} = 2 \left( -\frac{11}{4}, -\frac{7}{4}, 1 \right) = \left( -\frac{22}{4}, -\frac{14}{4}, 2 \right) = \left( -\frac{11}{2}, -\frac{7}{2}, 2 \right) \] \[ -\overrightarrow{MB} = - \left( -\frac{19}{4}, -\frac{7}{4}, -1 \right) = \left( \frac{19}{4}, \frac{7}{4}, 1 \right) \] \[ 3\overrightarrow{MC} = 3 \left( \frac{1}{4}, \frac{5}{4}, -2 \right) = \left( \frac{3}{4}, \frac{15}{4}, -6 \right) \] Tổng: \[ 2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = \left( -\frac{11}{2} + \frac{19}{4} + \frac{3}{4}, -\frac{7}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{4}, 2 + 1 - 6 \right) \] \[ = \left( -\frac{22}{4} + \frac{19}{4} + \frac{3}{4}, -\frac{14}{4} + \frac{7}{4} + \frac{15}{4}, -3 \right) \] \[ = \left( 0, 2, -3 \right) \] Tính độ dài: \[ |2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] Vậy, $|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}|$ là nhỏ nhất khi M có tọa độ $\left( \frac{11}{4}, \frac{-1}{4}, 0 \right)$. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ - Đáp án sai là: b) Tứ giác ABCD là hình bình hành thì tọa độ của điểm D là $(5;1;4)$ - Đáp án đúng là: c) Hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (Oxz) là $B'(-2, 0, -1)$ - Đáp án đúng là: d) Trên mặt phẳng (Oxy) có điểm $M(\frac{11}{4}, \frac{-1}{4}, 0)$ để $|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}|$ là nhỏ nhất.