Hdjdjdjdjdjdjd

Câu 24. Để tìm số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ của cấp số nhân $(u_n)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các số hạng của cấp số nhân. - Số hạng thứ nhất là $u_1$. - Số hạng thứ năm là $u_5 = u_1 \cdot q^4$. - Số hạng thứ hai là $u_2 = u_1 \cdot q$. - Số hạng thứ sáu là $u_6 = u_1 \cdot q^5$. Bước 2: Thay vào hệ phương trình đã cho: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 + u_1 \cdot q^4 = 51 \\ u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^5 = 102 \end{array} \right. \] Bước 3: Rút gọn phương trình thứ hai: \[ u_1 \cdot q (1 + q^4) = 102 \] Bước 4: Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất để loại bỏ $u_1$: \[ \frac{u_1 \cdot q (1 + q^4)}{u_1 (1 + q^4)} = \frac{102}{51} \] \[ q = 2 \] Bước 5: Thay $q = 2$ vào phương trình thứ nhất để tìm $u_1$: \[ u_1 + u_1 \cdot 2^4 = 51 \] \[ u_1 + u_1 \cdot 16 = 51 \] \[ u_1 (1 + 16) = 51 \] \[ u_1 \cdot 17 = 51 \] \[ u_1 = 3 \] Vậy số hạng đầu $u_1$ là 3 và công bội $q$ là 2. Đáp số: $u_1 = 3$, $q = 2$. Câu 25. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của dãy số cộng (CSN). Trong dãy số cộng, hiệu của hai số liên tiếp là hằng số, gọi là công sai (d). Bước 1: Xác định công sai (d) - Ta có: \( u_4 - u_2 = 72 \) - Ta cũng có: \( u_5 - u_3 = 144 \) Trong dãy số cộng, hiệu của hai số cách nhau 2 khoảng cách là 2 lần công sai: \[ u_4 - u_2 = 2d \] \[ u_5 - u_3 = 2d \] Từ đó suy ra: \[ 2d = 72 \] \[ d = 36 \] Bước 2: Tìm \( u_6 \) - Biết rằng \( u_5 - u_3 = 144 \), ta có thể viết lại: \[ u_5 = u_3 + 2d \] \[ u_5 = u_3 + 2 \times 36 \] \[ u_5 = u_3 + 72 \] - Tiếp theo, để tìm \( u_6 \): \[ u_6 = u_5 + d \] \[ u_6 = (u_3 + 72) + 36 \] \[ u_6 = u_3 + 108 \] Do đó, giá trị của \( u_6 \) là: \[ u_6 = u_3 + 108 \] Đáp số: \( u_6 = u_3 + 108 \) Câu 26. Để tìm số hạng đầu \( u_1 \) và công bội \( q \) của cấp số nhân \( (u_n) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định số hạng thứ hai \( u_2 \): Ta biết rằng \( u_2 = u_1 \cdot q \). Theo đề bài, \( u_2 = 6 \). 2. Xác định tổng ba số hạng đầu tiên \( S_3 \): Tổng ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \[ S_3 = u_1 + u_2 + u_3 \] Biểu thức tổng ba số hạng đầu tiên của cấp số nhân cũng có thể viết dưới dạng: \[ S_3 = u_1 \cdot \frac{1 - q^3}{1 - q} \] Theo đề bài, \( S_3 = 43 \). 3. Thay \( u_2 \) vào phương trình: Ta có: \[ u_2 = u_1 \cdot q = 6 \] 4. Thay \( S_3 \) vào phương trình: Ta có: \[ u_1 \cdot \frac{1 - q^3}{1 - q} = 43 \] 5. Giải hệ phương trình: Từ \( u_1 \cdot q = 6 \), ta có \( u_1 = \frac{6}{q} \). Thay \( u_1 = \frac{6}{q} \) vào phương trình \( u_1 \cdot \frac{1 - q^3}{1 - q} = 43 \): \[ \frac{6}{q} \cdot \frac{1 - q^3}{1 - q} = 43 \] Nhân cả hai vế với \( q \): \[ 6 \cdot \frac{1 - q^3}{1 - q} = 43q \] Chia cả hai vế cho 6: \[ \frac{1 - q^3}{1 - q} = \frac{43q}{6} \] Nhân cả hai vế với \( 1 - q \): \[ 1 - q^3 = \frac{43q(1 - q)}{6} \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ 6 - 6q^3 = 43q - 43q^2 \] Đặt tất cả các hạng tử về một vế: \[ 6 - 6q^3 - 43q + 43q^2 = 0 \] Sắp xếp lại theo lũy thừa giảm dần của \( q \): \[ -6q^3 + 43q^2 - 43q + 6 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1 để đơn giản hóa: \[ 6q^3 - 43q^2 + 43q - 6 = 0 \] 6. Giải phương trình bậc ba: Phương trình \( 6q^3 - 43q^2 + 43q - 6 = 0 \) có thể được giải bằng phương pháp thử nghiệm các giá trị \( q \). Ta thử nghiệm \( q = 1 \): \[ 6(1)^3 - 43(1)^2 + 43(1) - 6 = 6 - 43 + 43 - 6 = 0 \] Vậy \( q = 1 \) là nghiệm của phương trình. Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm các nghiệm còn lại: \[ 6q^3 - 43q^2 + 43q - 6 = (q - 1)(6q^2 - 37q + 6) \] Giải phương trình bậc hai \( 6q^2 - 37q + 6 = 0 \) bằng công thức nghiệm: \[ q = \frac{-(-37) \pm \sqrt{(-37)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 144}}{12} = \frac{37 \pm \sqrt{1225}}{12} = \frac{37 \pm 35}{12} \] Ta có hai nghiệm: \[ q = \frac{37 + 35}{12} = \frac{72}{12} = 6 \] \[ q = \frac{37 - 35}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \] 7. Kiểm tra các giá trị \( q \): - Nếu \( q = 1 \): \[ u_1 = \frac{6}{1} = 6 \] Kiểm tra \( S_3 \): \[ S_3 = 6 + 6 + 6 = 18 \neq 43 \] Vậy \( q = 1 \) không thỏa mãn. - Nếu \( q = 6 \): \[ u_1 = \frac{6}{6} = 1 \] Kiểm tra \( S_3 \): \[ S_3 = 1 + 6 + 36 = 43 \] Vậy \( q = 6 \) thỏa mãn. - Nếu \( q = \frac{1}{6} \): \[ u_1 = \frac{6}{\frac{1}{6}} = 36 \] Kiểm tra \( S_3 \): \[ S_3 = 36 + 6 + 1 = 43 \] Vậy \( q = \frac{1}{6} \) thỏa mãn. Vậy, các cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân là: - \( u_1 = 1 \) và \( q = 6 \) - \( u_1 = 36 \) và \( q = \frac{1}{6} \) Đáp số: - \( u_1 = 1 \) và \( q = 6 \) - \( u_1 = 36 \) và \( q = \frac{1}{6} \) Câu 27. Để viết thêm bốn số vào giữa hai số 160 và 5 để được một cấp số nhân, ta cần xác định công bội \( q \) của cấp số nhân này. Gọi các số hạng của cấp số nhân là \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \). Ta biết rằng: \[ a_1 = 160 \] \[ a_6 = 5 \] Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với công bội \( q \). Do đó, ta có: \[ a_6 = a_1 \cdot q^5 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 5 = 160 \cdot q^5 \] Giải phương trình này để tìm \( q \): \[ q^5 = \frac{5}{160} = \frac{1}{32} \] \[ q = \left( \frac{1}{32} \right)^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{2} \] Bây giờ, ta tính các số hạng còn lại của cấp số nhân: \[ a_2 = a_1 \cdot q = 160 \cdot \frac{1}{2} = 80 \] \[ a_3 = a_2 \cdot q = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \] \[ a_4 = a_3 \cdot q = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20 \] \[ a_5 = a_4 \cdot q = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \] Vậy, các số hạng của cấp số nhân là: \[ 160, 80, 40, 20, 10, 5 \] Tổng các số hạng của cấp số nhân đó là: \[ S = 160 + 80 + 40 + 20 + 10 + 5 = 315 \] Đáp số: 315