Giúp mình với!

Bài 1: Làm tính nhân a) $\frac{2}{5}xy(x^2y - 5x + 10y)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc với $\frac{2}{5}xy$: \[ \frac{2}{5}xy \cdot x^2y = \frac{2}{5}x^3y^2 \] \[ \frac{2}{5}xy \cdot (-5x) = -2x^2y \] \[ \frac{2}{5}xy \cdot 10y = 4xy^2 \] Vậy: \[ \frac{2}{5}xy(x^2y - 5x + 10y) = \frac{2}{5}x^3y^2 - 2x^2y + 4xy^2 \] b) $(x^2 - 1)(x^2 + 2x)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ x^2 \cdot x^2 = x^4 \] \[ x^2 \cdot 2x = 2x^3 \] \[ -1 \cdot x^2 = -x^2 \] \[ -1 \cdot 2x = -2x \] Vậy: \[ (x^2 - 1)(x^2 + 2x) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x \] c) $(3x - 2)(3x + 2)(3 - x)$ Ta thực hiện phép nhân từng cặp hạng tử: \[ (3x - 2)(3x + 2) = 9x^2 - 4 \] \[ (9x^2 - 4)(3 - x) = 27x^2 - 9x^3 - 12 + 4x \] Vậy: \[ (3x - 2)(3x + 2)(3 - x) = -9x^3 + 27x^2 + 4x - 12 \] d) $-2x^3y(2x^2 - 3y + 5yz)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc với $-2x^3y$: \[ -2x^3y \cdot 2x^2 = -4x^5y \] \[ -2x^3y \cdot (-3y) = 6x^3y^2 \] \[ -2x^3y \cdot 5yz = -10x^3y^2z \] Vậy: \[ -2x^3y(2x^2 - 3y + 5yz) = -4x^5y + 6x^3y^2 - 10x^3y^2z \] e) $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ x \cdot x^2 = x^3 \] \[ x \cdot 3x = 3x^2 \] \[ x \cdot 9 = 9x \] \[ -3 \cdot x^2 = -3x^2 \] \[ -3 \cdot 3x = -9x \] \[ -3 \cdot 9 = -27 \] Vậy: \[ (x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 + 3x^2 + 9x - 3x^2 - 9x - 27 = x^3 - 27 \] f) $(2x - 5)(2x + 5)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ 2x \cdot 2x = 4x^2 \] \[ 2x \cdot 5 = 10x \] \[ -5 \cdot 2x = -10x \] \[ -5 \cdot 5 = -25 \] Vậy: \[ (2x - 5)(2x + 5) = 4x^2 - 25 \] g) $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ x \cdot x^2 = x^3 \] \[ x \cdot (-xy) = -x^2y \] \[ x \cdot y^2 = xy^2 \] \[ y \cdot x^2 = x^2y \] \[ y \cdot (-xy) = -xy^2 \] \[ y \cdot y^2 = y^3 \] Vậy: \[ (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 \] h) $(x - 2y)(x^2y^2 - \frac{1}{2}xy + 2y)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ x \cdot x^2y^2 = x^3y^2 \] \[ x \cdot (-\frac{1}{2}xy) = -\frac{1}{2}x^2y \] \[ x \cdot 2y = 2xy \] \[ -2y \cdot x^2y^2 = -2x^2y^3 \] \[ -2y \cdot (-\frac{1}{2}xy) = xy^2 \] \[ -2y \cdot 2y = -4y^2 \] Vậy: \[ (x - 2y)(x^2y^2 - \frac{1}{2}xy + 2y) = x^3y^2 - \frac{1}{2}x^2y + 2xy - 2x^2y^3 + xy^2 - 4y^2 \] i) $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ x \cdot x^2 = x^3 \] \[ x \cdot (-x) = -x^2 \] \[ x \cdot 1 = x \] \[ 1 \cdot x^2 = x^2 \] \[ 1 \cdot (-x) = -x \] \[ 1 \cdot 1 = 1 \] Vậy: \[ (x + 1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1 \] k) $(x + 3)(x^2 + 3x - 5)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ x \cdot x^2 = x^3 \] \[ x \cdot 3x = 3x^2 \] \[ x \cdot (-5) = -5x \] \[ 3 \cdot x^2 = 3x^2 \] \[ 3 \cdot 3x = 9x \] \[ 3 \cdot (-5) = -15 \] Vậy: \[ (x + 3)(x^2 + 3x - 5) = x^3 + 6x^2 + 4x - 15 \] Bài 2: Rút gọn biểu thức a) $(6x + 1)^2 + (6x - 1)^2 - 2(1 + 6x)(6x - 1)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ (6x + 1)^2 = 36x^2 + 12x + 1 \] \[ (6x - 1)^2 = 36x^2 - 12x + 1 \] \[ 2(1 + 6x)(6x - 1) = 2(6x - 1 + 36x^2 - 6x) = 2(36x^2 - 1) = 72x^2 - 2 \] Vậy: \[ (6x + 1)^2 + (6x - 1)^2 - 2(1 + 6x)(6x - 1) = 36x^2 + 12x + 1 + 36x^2 - 12x + 1 - 72x^2 + 2 = 4 \] b) $(2x - 3)^2 - (2x - 3)(2x + 3)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ (2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9 \] \[ (2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 9 \] Vậy: \[ (2x - 3)^2 - (2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 + 9 = -12x + 18 \] c) $x(2x^2 - 3) - x^2(5x + 1) + x^2$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ x(2x^2 - 3) = 2x^3 - 3x \] \[ x^2(5x + 1) = 5x^3 + x^2 \] Vậy: \[ x(2x^2 - 3) - x^2(5x + 1) + x^2 = 2x^3 - 3x - 5x^3 - x^2 + x^2 = -3x^3 - 3x \] d) $(2x - 1)^3 - 6x + 1$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ (2x - 1)^3 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \] Vậy: \[ (2x - 1)^3 - 6x + 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 - 6x + 1 = 8x^3 - 12x^2 \] e) $(x + 3)^3 - 27 - 27x$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ (x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \] Vậy: \[ (x + 3)^3 - 27 - 27x = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - 27 - 27x = x^3 + 9x^2 \] f) $(x + 2)^2 + x(x - 5)$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \] \[ x(x - 5) = x^2 - 5x \] Vậy: \[ (x + 2)^2 + x(x - 5) = x^2 + 4x + 4 + x^2 - 5x = 2x^2 - x + 4 \] g) $24(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1) - 5^{16}$ Ta thực hiện phép nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ 5^2 + 1 = 26 \] \[ 5^4 + 1 = 626 \] \[ 5^8 + 1 = 390626 \] Vậy: \[ 24 \cdot 26 \cdot 626 \cdot 390626 - 5^{16} \] Ta thấy rằng: \[ 24 \cdot 26 \cdot 626 \cdot 390626 = 5^{16} - 1 \] Vậy: \[ 24(5^2 + 1)(5^4 + 1)(5^8 + 1) - 5^{16} = 5^{16} - 1 - 5^{16} = -1 \] Bài 3: a) Ta có biểu thức $\sqrt{1,6^2} + 4 \cdot 0,8 \cdot 3,4 + 3,4^2$. Ta nhận thấy rằng $4 \cdot 0,8 = 3,2$, do đó ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ \sqrt{1,6^2} + 3,2 \cdot 3,4 + 3,4^2 \] Biểu thức này có dạng $(a + b)^2$ với $a = 1,6$ và $b = 3,4$. Do đó: \[ \sqrt{1,6^2} + 3,2 \cdot 3,4 + 3,4^2 = 1,6 + 3,2 \cdot 3,4 + 3,4^2 = (1,6 + 3,4)^2 = 5^2 = 25 \] b) Ta có biểu thức $3^4 \cdot 5^4 - (15^2 + 1)(15^2 - 1)$. Ta nhận thấy rằng $3^4 \cdot 5^4 = (3 \cdot 5)^4 = 15^4$. Biểu thức $(15^2 + 1)(15^2 - 1)$ có dạng $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ với $a = 15^2$ và $b = 1$. Do đó: \[ 15^4 - (15^2 + 1)(15^2 - 1) = 15^4 - (15^2)^2 + 1 = 15^4 - 15^4 + 1 = 1 \] c) Ta có biểu thức $x^4 - 12x^3 + 12x^2 - 12x + 111$ tại $x = 5$. Thay $x = 5$ vào biểu thức: \[ 5^4 - 12 \cdot 5^3 + 12 \cdot 5^2 - 12 \cdot 5 + 111 \] Tính từng phần: \[ 5^4 = 625 \] \[ 12 \cdot 5^3 = 12 \cdot 125 = 1500 \] \[ 12 \cdot 5^2 = 12 \cdot 25 = 300 \] \[ 12 \cdot 5 = 60 \] Do đó: \[ 625 - 1500 + 300 - 60 + 111 = 625 - 1500 + 300 - 60 + 111 = -524 + 111 = -413 \] Đáp số: a) 25 b) 1 c) -413 Bài 4: a) Chứng minh \( x^2 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \): Ta có: \[ x^2 - x + 1 = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \] Vì \((x - \frac{1}{2})^2 \geq 0\) với mọi \( x \), nên: \[ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} > 0 \] Do đó, \( x^2 - x + 1 > 0 \) với mọi \( x \). b) Chứng minh \( 2x - x^2 - 2 < 0 \) với mọi \( x \): Ta có: \[ 2x - x^2 - 2 = -(x^2 - 2x + 2) \] Xét biểu thức \( x^2 - 2x + 2 \): \[ x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \] Vì \((x - 1)^2 \geq 0\) với mọi \( x \), nên: \[ (x - 1)^2 + 1 \geq 1 > 0 \] Do đó: \[ -(x^2 - 2x + 2) = -( (x - 1)^2 + 1 ) < 0 \] Vậy \( 2x - x^2 - 2 < 0 \) với mọi \( x \). Bài 5: a) \(2x^2 - 8x\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[2x^2 - 8x = 2x(x - 4)\] b) \(3a^2 - 6ab + 3b^2\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[3a^2 - 6ab + 3b^2 = 3(a^2 - 2ab + b^2) = 3(a - b)^2\] c) \(3x^3 + 12x^2 + 12x\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[3x^3 + 12x^2 + 12x = 3x(x^2 + 4x + 4) = 3x(x + 2)^2\] d) \(x^2 - 3x + xy - 3y\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[x^2 - 3x + xy - 3y = x(x - 3) + y(x - 3) = (x - 3)(x + y)\] e) \(x^2 + 6x - y^2 + 9\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[x^2 + 6x - y^2 + 9 = (x^2 + 6x + 9) - y^2 = (x + 3)^2 - y^2 = (x + 3 - y)(x + 3 + y)\] f) \(x^2 - xy + x - y\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[x^2 - xy + x - y = x(x - y) + 1(x - y) = (x - y)(x + 1)\] g) \(x^2 + 4x - 2xy - 4y + y^2\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[x^2 + 4x - 2xy - 4y + y^2 = (x^2 - 2xy + y^2) + 4(x - y) = (x - y)^2 + 4(x - y) = (x - y)(x - y + 4)\] h) \(x^3 + 27\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)\] i) \(x^3 - 27 - 9x^2 + 27x\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[x^3 - 27 - 9x^2 + 27x = (x^3 - 9x^2) + (27x - 27) = x^2(x - 9) + 27(x - 1) = (x - 3)(x^2 - 6x + 9) = (x - 3)(x - 3)^2 = (x - 3)^3\] j) \(8x^3 - 1\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + 2x + 1) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)\] k) \(2xy + 3z + 6y + xz\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[2xy + 3z + 6y + xz = 2y(x + 3) + z(x + 3) = (x + 3)(2y + z)\] l) \(x^2 - 2xy + tx - 2ty\) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[x^2 - 2xy + tx - 2ty = x(x - 2y) + t(x - 2y) = (x - 2y)(x + t)\]