Cứuuuuuuuuuuuu

Câu 1: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Điều này có nghĩa là O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, và O cũng là trung điểm của cả hai đường chéo này. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Ta sẽ chứng minh rằng đường thẳng IJ song song với đường thẳng BD. Ta có: - I là trung điểm của SA, tức là I nằm giữa S và A. - J là trung điểm của SC, tức là J nằm giữa S và C. Do đó, đoạn thẳng IJ nối giữa hai trung điểm của hai cạnh SA và SC của tam giác SAC. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đoạn thẳng nối giữa hai trung điểm của hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh còn lại và bằng nửa cạnh đó. Áp dụng định lý này vào tam giác SAC, ta có: \[ IJ \parallel AC \] Bây giờ, ta cần chứng minh rằng AC song song với BD. Vì ABCD là hình bình hành, nên theo tính chất của hình bình hành, hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, AC và BD cắt nhau tại O và O là trung điểm của cả hai đường chéo này. Từ đó, ta suy ra: \[ AC \parallel BD \] Vậy, ta có: \[ IJ \parallel AC \] \[ AC \parallel BD \] Suy ra: \[ IJ \parallel BD \] Do đó, đường thẳng IJ song song với đường thẳng BD. Đáp án đúng là: D. BD. Câu 2: Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số lượng học sinh: Tổng số học sinh = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56 học sinh. 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng học sinh là 56 (số chẵn), trung vị sẽ nằm ở giữa hai giá trị thứ 28 và 29. 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm [9,5; 12,5) có 3 học sinh. - Nhóm [12,5; 15,5) có 12 học sinh. - Nhóm [15,5; 18,5) có 15 học sinh. - Nhóm (18,5; 21,5) có 24 học sinh. - Nhóm (21,5; 24,5) có 2 học sinh. Tính tổng số học sinh từ nhóm đầu tiên đến nhóm trước nhóm chứa trung vị: - Nhóm [9,5; 12,5) + nhóm [12,5; 15,5) + nhóm [15,5; 18,5) = 3 + 12 + 15 = 30 học sinh. Nhóm (18,5; 21,5) bắt đầu từ học sinh thứ 31, do đó trung vị nằm trong nhóm (18,5; 21,5). 4. Áp dụng công thức tính trung vị của nhóm chứa trung vị: Công thức trung vị của nhóm chứa trung vị: \[ M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{d}}{f} \right) \times d \] Trong đó: - \( l \) là giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị (18,5). - \( n \) là tổng số lượng học sinh (56). - \( F_{d} \) là tổng số lượng học sinh của các nhóm trước nhóm chứa trung vị (30). - \( f \) là số lượng học sinh của nhóm chứa trung vị (24). - \( d \) là khoảng rộng của nhóm chứa trung vị (21,5 - 18,5 = 3). Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 18,5 + \left( \frac{\frac{56}{2} - 30}{24} \right) \times 3 \] \[ M = 18,5 + \left( \frac{28 - 30}{24} \right) \times 3 \] \[ M = 18,5 + \left( \frac{-2}{24} \right) \times 3 \] \[ M = 18,5 + (-0,25) \] \[ M = 18,25 \] Do đó, trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là 18,25 phút. Vậy đáp án đúng là B. 18,1. Câu 3: Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1=-3$ và $q=\frac{2}{3}$. Ta sẽ tính các số hạng tiếp theo của cấp số nhân này để kiểm tra các mệnh đề đã cho. - Số hạng thứ hai: \[ u_2 = u_1 \cdot q = -3 \cdot \frac{2}{3} = -2 \] - Số hạng thứ ba: \[ u_3 = u_2 \cdot q = -2 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{4}{3} \] - Số hạng thứ tư: \[ u_4 = u_3 \cdot q = -\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{8}{9} \] - Số hạng thứ năm: \[ u_5 = u_4 \cdot q = -\frac{8}{9} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{16}{27} \] - Số hạng thứ sáu: \[ u_6 = u_5 \cdot q = -\frac{16}{27} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{32}{81} \] Bây giờ ta sẽ kiểm tra các mệnh đề đã cho: A. $u_3 = \frac{16}{27}$. - Sai vì $u_3 = -\frac{4}{3}$. B. $u_6 = -\frac{27}{16}$. - Sai vì $u_6 = -\frac{32}{81}$. C. $u_6 = \frac{16}{27}$. - Sai vì $u_6 = -\frac{32}{81}$. D. $u_6 = \frac{27}{16}$. - Sai vì $u_6 = -\frac{32}{81}$. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều sai. Tuy nhiên, nếu chúng ta phải chọn một trong các đáp án thì câu hỏi này có thể có lỗi hoặc thiếu thông tin. Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 4: Để xác định xem mỗi dãy số có phải là cấp số cộng hay không, ta cần kiểm tra xem hiệu giữa hai số liên tiếp trong dãy có bằng nhau hay không. A. Dãy số: $1; -2; -4; -6; -8$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-2 - 1 = -3$ $-4 - (-2) = -2$ $-6 - (-4) = -2$ $-8 - (-6) = -2$ Nhận thấy rằng hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau ($-3$ và $-2$), do đó dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Dãy số: $1; -3; -6; -9; -12$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-3 - 1 = -4$ $-6 - (-3) = -3$ $-9 - (-6) = -3$ $-12 - (-9) = -3$ Nhận thấy rằng hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau ($-4$ và $-3$), do đó dãy số này không phải là cấp số cộng. C. Dãy số: $1; -3; -7; -11; -15$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-3 - 1 = -4$ $-7 - (-3) = -4$ $-11 - (-7) = -4$ $-15 - (-11) = -4$ Nhận thấy rằng hiệu giữa các số liên tiếp đều bằng nhau ($-4$), do đó dãy số này là cấp số cộng. D. Dãy số: $-3; -8; -7; -9$ - Hiệu giữa các số liên tiếp: $-8 - (-3) = -5$ $-7 - (-8) = 1$ $-9 - (-7) = -2$ Nhận thấy rằng hiệu giữa các số liên tiếp không bằng nhau ($-5$, $1$, và $-2$), do đó dãy số này không phải là cấp số cộng. Kết luận: Dãy số là cấp số cộng là dãy số C: $1; -3; -7; -11; -15$. Câu 5: Để tìm ba số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$, ta thay lần lượt $n = 1$, $n = 2$, và $n = 3$ vào công thức $u_n = \frac{n}{2^n - 1}$. 1. Với $n = 1$: \[ u_1 = \frac{1}{2^1 - 1} = \frac{1}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 \] 2. Với $n = 2$: \[ u_2 = \frac{2}{2^2 - 1} = \frac{2}{4 - 1} = \frac{2}{3} \] 3. Với $n = 3$: \[ u_3 = \frac{3}{2^3 - 1} = \frac{3}{8 - 1} = \frac{3}{7} \] Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số là $1$, $\frac{2}{3}$, và $\frac{3}{7}$. Do đó, đáp án đúng là: D. $1; \frac{2}{3}; \frac{3}{7}$. Câu 6: Phương trình $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có nghiệm là: A. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi.$ B. $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right..$ C. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi.$ D. $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{6} + kx \\ x = \frac{3\pi}{6} + kx \end{array}\right..$ Để giải phương trình $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta cần tìm các giá trị của $x$ sao cho $\sin x$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ta biết rằng $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó, phương trình $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ có nghiệm là: \[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \] với $k$ là số nguyên. Vậy đáp án đúng là: B. $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right..$ Đáp án: B. Câu 7: Để tìm nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này, chúng ta cần xác định nhóm có tần số lớn nhất. Bước 1: Xác định tần số của mỗi nhóm: - Nhóm [0;20): 5 học sinh - Nhóm [20;40): 9 học sinh - Nhóm [40;60): 12 học sinh - Nhóm [60;80): 10 học sinh - Nhóm [80;100): 6 học sinh Bước 2: So sánh tần số của các nhóm để xác định nhóm có tần số lớn nhất: - Tần số của nhóm [0;20) là 5 - Tần số của nhóm [20;40) là 9 - Tần số của nhóm [40;60) là 12 - Tần số của nhóm [60;80) là 10 - Tần số của nhóm [80;100) là 6 Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm [40;60) với 12 học sinh. Vậy nhóm chứa mốt của mẫu số liệu này là nhóm [40;60). Đáp án đúng là: B. [40;60).