Cho đường tròn $O$, đường kính $AB$. Qua $B$ kẻ tiếp tuyến $d$ của đường tròn. Gọi $M$ là một điểm thay đổi trên $d$ ($M$ khác $B$), $AM$ cắt đường tròn tại $C$ ($C$ khác $A$). Kẻ $CH$ vuông góc với...

a) Ta có $\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat{ACH} = 90^\circ$. Mặt khác, $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn tại $B$ nên $MB \perp AB$, suy ra $\widehat{MBB} = 90^\circ$. Do đó, $CH \parallel MB$ (hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau). b) Ta có $\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $BC \perp AM$. Xét tam giác $ACB$ và tam giác $MBC$: - $\widehat{ACB} = \widehat{MBC} = 90^\circ$ - $\widehat{CAB} = \widehat{CBM}$ (cùng bù với $\widehat{ABC}$) - $\widehat{CBA} = \widehat{BCM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $CA$) Do đó, tam giác $ACB$ đồng dạng với tam giác $MBC$ (g-g). Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{AC}{MB} = \frac{CB}{MC} = \frac{AB}{BC}$, suy ra $MA \cdot MC = MB^2$. c) Ta có $OK \perp BC$ nên $\widehat{CKO} = 90^\circ$. Mặt khác, $CH \parallel MB$ nên $\widehat{CKO} = \widehat{ICK}$ (so le trong). Do đó, $\widehat{ICK} = 90^\circ$, suy ra $IC \perp CK$. Mặt khác, $OC$ là bán kính của đường tròn $(O)$ nên $IC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $C$.