Giúp em với

Câu 51: Để tính nguyên hàm của hàm số $\int \cos x \sin^2 x \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương pháp tính nguyên hàm. - Ta nhận thấy rằng $\cos x$ là đạo hàm của $\sin x$. Do đó, ta có thể sử dụng phương pháp thay đổi biến số để tính nguyên hàm này. Bước 2: Thay đổi biến số. - Đặt $u = \sin x$. Khi đó, $du = \cos x \, dx$. Bước 3: Viết lại nguyên hàm theo biến mới. - $\int \cos x \sin^2 x \, dx = \int u^2 \, du$. Bước 4: Tính nguyên hàm của $u^2$. - $\int u^2 \, du = \frac{u^3}{3} + C$. Bước 5: Quay trở lại biến ban đầu. - Thay $u = \sin x$ vào kết quả trên, ta được: \[ \int \cos x \sin^2 x \, dx = \frac{\sin^3 x}{3} + C. \] Do đó, nguyên hàm của hàm số $\int \cos x \sin^2 x \, dx$ là $\frac{\sin^3 x}{3} + C$. Vậy đáp án đúng là: C. $\sin^3 x + C$. Câu 52: Để tính $\int \frac{dx}{x \cdot \ln x}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số. Bước 1: Đặt $u = \ln x$. Khi đó, $du = \frac{1}{x} dx$. Bước 2: Thay vào biểu thức tích phân: \[ \int \frac{dx}{x \cdot \ln x} = \int \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx = \int \frac{1}{u} du \] Bước 3: Tích phân $\int \frac{1}{u} du$ là $\ln |u| + C$. Bước 4: Thay trở lại $u = \ln x$, ta có: \[ \int \frac{dx}{x \cdot \ln x} = \ln |\ln x| + C \] Vậy đáp án đúng là: D. $\ln |\ln x| + C$ Đáp số: D. $\ln |\ln x| + C$ Câu 53: Để tính $\int x\sqrt{x^2+3}dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số. Bước 1: Đặt $u = x^2 + 3$. Bước 2: Tính vi phân của $u$: \[ du = 2x \, dx \] \[ x \, dx = \frac{1}{2} du \] Bước 3: Thay vào tích phân: \[ \int x\sqrt{x^2+3}dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du \] Bước 4: Tính tích phân: \[ \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C \] \[ = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C \] \[ = \frac{1}{3} u^{3/2} + C \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu: \[ u = x^2 + 3 \] \[ \frac{1}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} (x^2 + 3)^{3/2} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ \frac{1}{3} (x^2 + 3)^{3/2} + C \] Đáp án: $\frac{1}{3}(x^2 + 3)^{3/2} + C$ Câu 54: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi \( u = \sin x \). Khi đó, đạo hàm của \( u \) theo \( x \) là: \[ \frac{du}{dx} = \cos x \] Hay \( du = \cos x \, dx \). Bước 2: Thay đổi biến số trong nguyên hàm. Nguyên hàm ban đầu là: \[ \int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx \] Thay \( u = \sin x \) và \( du = \cos x \, dx \), ta có: \[ \int u^3 \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( u^3 \). \[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu. Thay \( u = \sin x \) vào kết quả trên, ta được: \[ \frac{\sin^4 x}{4} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( y = \sin^3 x \cdot \cos x \) là: \[ \frac{1}{4} \sin^4 x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A. \frac{1}{4} \sin^4 x + C \] Câu 55: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x \sqrt{1 + x^2} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến. Bước 1: Đặt \( u = 1 + x^2 \). Khi đó, \( du = 2x \, dx \) hoặc \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \). Bước 2: Thay vào nguyên hàm: \[ \int x \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du \] Bước 3: Tính nguyên hàm của \( \sqrt{u} \): \[ \frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C \] Bước 4: Quay lại biến ban đầu \( u = 1 + x^2 \): \[ \frac{1}{3} u^{3/2} + C = \frac{1}{3} (1 + x^2)^{3/2} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x \sqrt{1 + x^2} \) là: \[ F(x) = \frac{1}{3} (\sqrt{1 + x^2})^3 + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~F(x) = \frac{1}{3} (\sqrt{1 + x^2})^3 \] Câu 56: Để tìm nguyên hàm của $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 4} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng của tích phân: Tích phân có dạng $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx$, trong đó $f(x) = x^2 + 3x + 4$ và $f'(x) = 2x + 3$. 2. Áp dụng công thức tích phân: Nguyên hàm của $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx$ là $\ln |f(x)| + C$. Do đó, ta có: \[ \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 4} \, dx = \ln |x^2 + 3x + 4| + C \] 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Ta cần kiểm tra xem biểu thức $x^2 + 3x + 4$ có thể bằng 0 hay không để đảm bảo rằng ln |x^2 + 3x + 4| có nghĩa. Ta giải phương trình: \[ x^2 + 3x + 4 = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 \] Vì $\Delta < 0$, phương trình này vô nghiệm, tức là $x^2 + 3x + 4$ luôn dương trên tập số thực. Do đó, ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối: \[ \ln |x^2 + 3x + 4| = \ln (x^2 + 3x + 4) \] 4. Kết luận: Nguyên hàm của $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x + 4} \, dx$ là: \[ F(x) = \ln (x^2 + 3x + 4) + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~F(x) = \ln (x^2 + 3x + 4) + C \]