Giải mình với

Câu 1: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \), ta sử dụng công thức tích phân. Công thức chính xác để tính diện tích này là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do: - \( |f(x)| \) đảm bảo rằng diện tích luôn dương, kể cả khi \( f(x) \) có giá trị âm. - Giới hạn tích phân từ \( a \) đến \( b \) xác định khoảng trên trục hoành mà ta đang tính diện tích. Do đó, đáp án đúng là: D. \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \) Đáp án: D. \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \) Câu 2: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 3 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: Đồ thị cắt trục hoành khi \( y = 0 \): \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Giải phương trình này: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Vậy, các giao điểm là \( x = 1 \) và \( x = 3 \). 2. Xác định khoảng tích phân: Diện tích cần tính nằm giữa \( x = 0 \) và \( x = 3 \). Tuy nhiên, vì hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \) âm trong khoảng từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \), chúng ta cần tách thành hai phần để tính diện tích đúng. 3. Tính diện tích từng phần: - Từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \), hàm số dương: \[ S_1 = \int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3) \, dx \] - Từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \), hàm số âm, nên diện tích là: \[ S_2 = \left| \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx \right| \] 4. Tính tổng diện tích: Tổng diện tích \( S \) là: \[ S = S_1 + S_2 \] 5. Tính từng tích phân: - Tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \): \[ S_1 = \int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 \right) - 0 = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3} \] - Tích phân từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \): \[ S_2 = \left| \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_{1}^{3} \right| = \left| \left( \frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 \right) \right| \] \[ = \left| \left( 9 - 18 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 + 3 \right) \right| = \left| 0 - \frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3} \] 6. Tổng diện tích: \[ S = S_1 + S_2 = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ S = \int_{0}^{1} (x^2 - 4x + 3) \, dx + \left| \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3) \, dx \right| = \frac{8}{3} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~S=\int^1(x^2-4x+3)|dx} \] Câu 3: Để tính diện tích S của hình phẳng trong phần gạch sọc, chúng ta cần xác định các khoảng tích phân dựa vào đồ thị của hàm số \( y = f(x) \). 1. Xác định các khoảng tích phân: - Phần gạch sọc nằm dưới trục hoành từ \( x = a \) đến \( x = b \). - Phần gạch sọc nằm trên trục hoành từ \( x = b \) đến \( x = c \). 2. Áp dụng công thức tính diện tích: - Diện tích phần gạch sọc nằm dưới trục hoành từ \( x = a \) đến \( x = b \) là \( -\int_a^b f(x) \, dx \). (Vì diện tích này nằm dưới trục hoành nên tích phân sẽ là âm). - Diện tích phần gạch sọc nằm trên trục hoành từ \( x = b \) đến \( x = c \) là \( \int_b^c f(x) \, dx \). 3. Tổng diện tích S: - Tổng diện tích S của hình phẳng trong phần gạch sọc là: \[ S = -\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( S = -\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx \) Lời giải chi tiết: - Xác định các khoảng tích phân dựa vào đồ thị của hàm số \( y = f(x) \). - Áp dụng công thức tính diện tích cho từng phần gạch sọc. - Tổng hợp các diện tích để tìm diện tích S toàn bộ phần gạch sọc. Đáp án: D. \( S = -\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx \) Câu 4: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) (với \(a < b\)) quanh trục hoành được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Bây giờ, chúng ta sẽ lập luận từng bước để hiểu rõ hơn về công thức này. 1. Phân chia đoạn [a, b] thành các khoảng nhỏ: Ta chia đoạn \([a, b]\) thành \(n\) khoảng nhỏ mỗi khoảng có độ dài là \(\Delta x = \frac{b - a}{n}\). 2. Xác định các điểm trên đoạn [a, b]: Gọi các điểm chia là \(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n\) sao cho \(x_0 = a\), \(x_n = b\) và \(x_i = a + i \cdot \Delta x\) với \(i = 0, 1, 2, \ldots, n\). 3. Tính diện tích các hình tròn nhỏ: Tại mỗi điểm \(x_i\), giá trị của hàm số là \(f(x_i)\). Khi quay đoạn nhỏ này quanh trục hoành, ta sẽ tạo ra một hình trụ nhỏ với bán kính \(f(x_i)\) và chiều cao \(\Delta x\). Diện tích đáy của hình trụ này là \(\pi [f(x_i)]^2\). 4. Tính thể tích các hình trụ nhỏ: Thể tích của mỗi hình trụ nhỏ là: \[ V_i = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} = \pi [f(x_i)]^2 \cdot \Delta x \] 5. Tổng thể tích các hình trụ nhỏ: Tổng thể tích của tất cả các hình trụ nhỏ là: \[ V \approx \sum_{i=1}^{n} \pi [f(x_i)]^2 \cdot \Delta x \] 6. Lấy giới hạn khi \(n \to \infty\): Khi \(n\) tăng lên vô cùng (\(n \to \infty\)), các khoảng \(\Delta x\) sẽ trở nên rất nhỏ và tổng trên sẽ tiến đến một giới hạn, đó chính là tích phân: \[ V = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \pi [f(x_i)]^2 \cdot \Delta x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Vậy, thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]