Giải chi tiết

Bài 1: Giải chi tiết Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành MNPQ có $M(-4;3;3)$, $N(4;-4;2)$ và $P(3;6;-1)$. Biết chu vi của hình bình hành MNPQ bằng $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ với $a, b \in \mathbb{N}^$ và $a > b$. Tính $a - b$. Bước 1: Tìm tọa độ đỉnh Q Gọi tọa độ đỉnh Q là $(x; y; z)$. Vì MNPQ là hình bình hành nên ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{PQ} \] Tính $\overrightarrow{MN}$: \[ \overrightarrow{MN} = (4 - (-4); -4 - 3; 2 - 3) = (8; -7; -1) \] Tính $\overrightarrow{PQ}$: \[ \overrightarrow{PQ} = (x - 3; y - 6; z + 1) \] Do đó: \[ (x - 3; y - 6; z + 1) = (8; -7; -1) \] Suy ra: \[ x - 3 = 8 \Rightarrow x = 11 \] \[ y - 6 = -7 \Rightarrow y = -1 \] \[ z + 1 = -1 \Rightarrow z = -2 \] Vậy tọa độ đỉnh Q là $(11; -1; -2)$. Bước 2: Tính độ dài các cạnh của hình bình hành - Độ dài MN: \[ |MN| = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-4 - 3)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{8^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 49 + 1} = \sqrt{114} \] - Độ dài PQ: \[ |PQ| = \sqrt{(11 - 3)^2 + (-1 - 6)^2 + (-2 + 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{64 + 49 + 1} = \sqrt{114} \] - Độ dài MQ: \[ |MQ| = \sqrt{(11 - (-4))^2 + (-1 - 3)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{15^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{225 + 16 + 25} = \sqrt{266} \] - Độ dài NP: \[ |NP| = \sqrt{(3 - 4)^2 + (6 - (-4))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 10^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 100 + 9} = \sqrt{110} \] Bước 3: Tính chu vi của hình bình hành Chu vi của hình bình hành MNPQ là: \[ 2(|MN| + |MQ|) = 2(\sqrt{114} + \sqrt{266}) \] Theo đề bài, chu vi của hình bình hành MNPQ bằng $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ với $a, b \in \mathbb{N}^$ và $a > b$. Do đó: \[ 2(\sqrt{114} + \sqrt{266}) = \sqrt{a} + \sqrt{b} \] Suy ra: \[ \sqrt{a} = 2\sqrt{266} \Rightarrow a = 4 \times 266 = 1064 \] \[ \sqrt{b} = 2\sqrt{114} \Rightarrow b = 4 \times 114 = 456 \] Vậy $a - b = 1064 - 456 = 608$. Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u} = (1; -2; 3)$. Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$? A. $\overrightarrow{a} = (2; 4; 6)$ B. $\overrightarrow{b} = (-3; 6; -9)$ C. $\overrightarrow{c} = (\frac{1}{2}; -2; \frac{3}{2})$ D. $\overrightarrow{d} = (-1; 2; -3)$ Bước 1: Kiểm tra các vectơ - $\overrightarrow{a} = (2; 4; 6)$: \[ \frac{2}{1} = 2, \quad \frac{4}{-2} = -2, \quad \frac{6}{3} = 2 \] Không cùng phương vì các tỉ số không bằng nhau. - $\overrightarrow{b} = (-3; 6; -9)$: \[ \frac{-3}{1} = -3, \quad \frac{6}{-2} = -3, \quad \frac{-9}{3} = -3 \] Cùng phương vì các tỉ số bằng nhau. - $\overrightarrow{c} = (\frac{1}{2}; -2; \frac{3}{2})$: \[ \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}, \quad \frac{-2}{-2} = 1, \quad \frac{\frac{3}{2}}{3} = \frac{1}{2} \] Không cùng phương vì các tỉ số không bằng nhau. - $\overrightarrow{d} = (-1; 2; -3)$: \[ \frac{-1}{1} = -1, \quad \frac{2}{-2} = -1, \quad \frac{-3}{3} = -1 \] Cùng phương vì các tỉ số bằng nhau. Vậy vectơ cùng phương với $\overrightarrow{u}$ là $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{d}$. Đáp án đúng là B và D.