Tìm các số nguyên a,b thỏa mãn: 15b^2-a^2=5

Question

Accepted Answer

Để tìm các số nguyên $a$ và $b$ thỏa mãn phương trình $15b^2 - a^2 = 5$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xét phương trình modulo 3:
   Ta có:
   $$
   15b^2 - a^2 \equiv 5 \pmod{3}
   $$
   Vì $15 \equiv 0 \pmod{3}$, nên:
   $$
   0 - a^2 \equiv 5 \pmod{3} \implies -a^2 \equiv 2 \pmod{3} \implies a^2 \equiv 1 \pmod{3}
   $$
   Các số bình phương modulo 3 chỉ có thể là 0 hoặc 1. Do đó, $a^2 \equiv 1 \pmod{3}$ có nghĩa là $a \equiv 1 \pmod{3}$ hoặc $a \equiv 2 \pmod{3}$.

2. Xét phương trình modulo 5:
   Ta có:
   $$
   15b^2 - a^2 \equiv 5 \pmod{5}
   $$
   Vì $15 \equiv 0 \pmod{5}$, nên:
   $$
   0 - a^2 \equiv 5 \pmod{5} \implies -a^2 \equiv 0 \pmod{5} \implies a^2 \equiv 0 \pmod{5}
   $$
   Các số bình phương modulo 5 chỉ có thể là 0, 1, hoặc 4. Do đó, $a^2 \equiv 0 \pmod{5}$ có nghĩa là $a \equiv 0 \pmod{5}$.

3. Tìm các số nguyên $a$ và $b$ thỏa mãn cả hai điều kiện:
   Từ trên, ta thấy $a$ phải đồng thời thoả mãn $a \equiv 1 \pmod{3}$ hoặc $a \equiv 2 \pmod{3}$ và $a \equiv 0 \pmod{5}$.

Ta thử các giá trị $a$ thoả mãn $a \equiv 0 \pmod{5}$:
   - $a = 5k$ (với $k$ là số nguyên)
   - Thay vào $a \equiv 1 \pmod{3}$ hoặc $a \equiv 2 \pmod{3}$:
     - $5k \equiv 1 \pmod{3}$ hoặc $5k \equiv 2 \pmod{3}$
     - $5 \equiv 2 \pmod{3}$, nên $2k \equiv 1 \pmod{3}$ hoặc $2k \equiv 2 \pmod{3}$

Ta xét từng trường hợp:
     - $2k \equiv 1 \pmod{3}$: Nhân cả hai vế với 2 (vì $2 \times 2 \equiv 1 \pmod{3}$), ta có $k \equiv 2 \pmod{3}$. Vậy $k = 3m + 2$ (với $m$ là số nguyên).
       - Thay vào $a = 5k$, ta có $a = 5(3m + 2) = 15m + 10$.
     - $2k \equiv 2 \pmod{3}$: Chia cả hai vế cho 2, ta có $k \equiv 1 \pmod{3}$. Vậy $k = 3m + 1$ (với $m$ là số nguyên).
       - Thay vào $a = 5k$, ta có $a = 5(3m + 1) = 15m + 5$.

4. Kiểm tra các giá trị $a$ đã tìm:
   - $a = 15m + 10$:
     $$
     15b^2 - (15m + 10)^2 = 5
     $$
     $$
     15b^2 - (225m^2 + 300m + 100) = 5
     $$
     $$
     15b^2 - 225m^2 - 300m - 100 = 5
     $$
     $$
     15b^2 = 225m^2 + 300m + 105
     $$
     $$
     b^2 = 15m^2 + 20m + 7
     $$
     Ta thấy $b^2$ phải là số chính phương, nhưng $15m^2 + 20m + 7$ không phải là số chính phương với mọi $m$.

- $a = 15m + 5$:
     $$
     15b^2 - (15m + 5)^2 = 5
     $$
     $$
     15b^2 - (225m^2 + 150m + 25) = 5
     $$
     $$
     15b^2 - 225m^2 - 150m - 25 = 5
     $$
     $$
     15b^2 = 225m^2 + 150m + 30
     $$
     $$
     b^2 = 15m^2 + 10m + 2
     $$
     Ta thấy $b^2$ phải là số chính phương, nhưng $15m^2 + 10m + 2$ không phải là số chính phương với mọi $m$.

Do đó, không có cặp số nguyên $a$ và $b$ nào thoả mãn phương trình $15b^2 - a^2 = 5$.

Đáp số: Không có cặp số nguyên $a$ và $b$ nào thoả mãn phương trình $15b^2 - a^2 = 5$.