Giúp em vs ạ

Câu 3. Để biểu diễn vectơ $\overrightarrow u = (-4; 13; -6)$ theo các vectơ $\overrightarrow a = (1; -7; 9)$, $\overrightarrow b = (3; -6; 1)$, $\overrightarrow c = (2; 1; -7)$, ta giả sử: \[ \overrightarrow u = x \overrightarrow a + y \overrightarrow b + z \overrightarrow c \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ (-4; 13; -6) = x(1; -7; 9) + y(3; -6; 1) + z(2; 1; -7) \] Tách thành các phương trình tương ứng với từng thành phần: \[ -4 = x + 3y + 2z \] \[ 13 = -7x - 6y + z \] \[ -6 = 9x + y - 7z \] Ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 3y + 2z = -4 \\ -7x - 6y + z = 13 \\ 9x + y - 7z = -6 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng trừ: Bước 1: Nhân phương trình thứ hai với 3 để dễ dàng trừ đi phương trình thứ nhất: \[ -21x - 18y + 3z = 39 \] \[ x + 3y + 2z = -4 \] Bước 2: Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình nhân 3: \[ (-21x - 18y + 3z) - (x + 3y + 2z) = 39 - (-4) \] \[ -22x - 21y + z = 43 \quad \text{(Phương trình mới)} \] Bước 3: Nhân phương trình thứ ba với 3 để dễ dàng trừ đi phương trình mới: \[ 27x + 3y - 21z = -18 \] \[ -22x - 21y + z = 43 \] Bước 4: Trừ phương trình mới từ phương trình nhân 3: \[ (27x + 3y - 21z) - (-22x - 21y + z) = -18 - 43 \] \[ 49x + 24y - 22z = -61 \quad \text{(Phương trình mới)} \] Bước 5: Giải phương trình mới để tìm \(x\): \[ 49x + 24y - 22z = -61 \] Bước 6: Thay \(x\) vào phương trình ban đầu để tìm \(y\) và \(z\). Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được: \[ x = 1, \quad y = -2, \quad z = 3 \] Vậy: \[ x + y + z = 1 - 2 + 3 = 2 \] Đáp số: \(x + y + z = 2\). Câu 4. Để ba điểm \(A\), \(B\), và \(C\) thẳng hàng, vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) phải cùng phương. Ta sẽ tính vectơ \(AB\) và vectơ \(AC\) rồi so sánh chúng. 1. Tính vectơ \(AB\): \[ AB = B - A = (3-2, 7-5, 4-3) = (1, 2, 1) \] 2. Tính vectơ \(AC\): \[ AC = C - A = (x-2, y-5, 6-3) = (x-2, y-5, 3) \] 3. Để \(AB\) và \(AC\) cùng phương, tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ AC = k \cdot AB \] \[ (x-2, y-5, 3) = k \cdot (1, 2, 1) \] 4. So sánh từng thành phần: \[ x - 2 = k \] \[ y - 5 = 2k \] \[ 3 = k \] 5. Từ \(3 = k\), ta có: \[ k = 3 \] 6. Thay \(k = 3\) vào các phương trình còn lại: \[ x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5 \] \[ y - 5 = 2 \cdot 3 \Rightarrow y - 5 = 6 \Rightarrow y = 11 \] 7. Tính \(x + y\): \[ x + y = 5 + 11 = 16 \] Vậy \(x + y = 16\). Đáp số: \(x + y = 16\). Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị của \( m \), \( n \), và \( p \) từ các thông tin đã cho và sau đó tính tổng \( m + n + p \). Bước 1: Xác định các thông tin đã cho: - \(\overrightarrow{a} = (1; -2; \frac{1}{4})\) - \(\overrightarrow{b} = (-2; 1; 1)\) Bước 2: Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): - Công thức để tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Bước 3: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1 = -2 - 2 + \frac{1}{4} = -4 + \frac{1}{4} = -\frac{15}{4} \] Bước 4: Tính độ dài của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\): \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + \left( \frac{1}{4} \right)^2} = \sqrt{1 + 4 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{64}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{81}{16}} = \frac{9}{4} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Bước 5: Thay vào công thức cos: \[ \cos \theta = \frac{-\frac{15}{4}}{\frac{9}{4} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-\frac{15}{4}}{\frac{9 \sqrt{6}}{4}} = \frac{-15}{9 \sqrt{6}} = \frac{-5}{3 \sqrt{6}} = \frac{-5 \sqrt{6}}{18} \] Bước 6: Xác định giá trị của \( m \), \( n \), và \( p \): - Từ kết quả trên, ta thấy rằng \(\cos \theta = \frac{-5 \sqrt{6}}{18}\), do đó \( m = 5 \), \( n = 6 \), và \( p = 18 \). Bước 7: Tính tổng \( m + n + p \): \[ m + n + p = 5 + 6 + 18 = 29 \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{29} \] Câu 6. Để tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; 5; 4)$ và $\overrightarrow{b} = (6; 0; -3)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 6 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot (-3) = 12 + 0 - 12 = 0 \] 2. Tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 0 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{0}{(3\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5})} = \frac{0}{45} = 0 \] 4. Xác định góc θ: \[ \cos(\theta) = 0 \implies \theta = 90^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $90^\circ$. Câu 7. Để tính $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot \sqrt{3} + 2 \cdot 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot (-1) \] \[ = 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \] \[ = 5\sqrt{3} \] Tiếp theo, ta tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5 \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 12 + 1} = \sqrt{16} = 4 \] Bây giờ, ta tính $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})$: \[ \cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{5\sqrt{3}}{5 \cdot 4} = \frac{5\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{4} \] Ta thấy rằng $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$, do đó $m = 3$ và $n = 4$. Cuối cùng, ta tính $m + n$: \[ m + n = 3 + 4 = 7 \] Đáp số: $m + n = 7$. Câu 8. Để tìm \( x + y + z \), ta cần xác định các thành phần \( x, y, z \) của vectơ \( \overrightarrow{u} = (x, y, z) \) dựa trên các điều kiện đã cho. 1. Điều kiện \( \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{a} \): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = 0 \implies x \cdot 2 + y \cdot 3 + z \cdot (-1) = 0 \implies 2x + 3y - z = 0 \quad \text{(1)} \] 2. Điều kiện \( \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{b} \): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{b} = 0 \implies x \cdot 1 + y \cdot (-2) + z \cdot 3 = 0 \implies x - 2y + 3z = 0 \quad \text{(2)} \] 3. Điều kiện \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{c} = -6 \): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{c} = -6 \implies x \cdot 2 + y \cdot (-1) + z \cdot 1 = -6 \implies 2x - y + z = -6 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x + 3y - z = 0 & \text{(1)} \\ x - 2y + 3z = 0 & \text{(2)} \\ 2x - y + z = -6 & \text{(3)} \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm \( x, y, z \). Bước 1: Giải phương trình (1) và (2): Nhân phương trình (1) với 3: \[ 6x + 9y - 3z = 0 \quad \text{(4)} \] Cộng phương trình (4) với phương trình (2): \[ (6x + 9y - 3z) + (x - 2y + 3z) = 0 + 0 \implies 7x + 7y = 0 \implies x + y = 0 \implies y = -x \quad \text{(5)} \] Bước 2: Thay \( y = -x \) vào phương trình (3): \[ 2x - (-x) + z = -6 \implies 2x + x + z = -6 \implies 3x + z = -6 \quad \text{(6)} \] Bước 3: Thay \( y = -x \) vào phương trình (1): \[ 2x + 3(-x) - z = 0 \implies 2x - 3x - z = 0 \implies -x - z = 0 \implies z = -x \quad \text{(7)} \] Bước 4: Thay \( z = -x \) vào phương trình (6): \[ 3x + (-x) = -6 \implies 2x = -6 \implies x = -3 \] Từ đó, ta có: \[ y = -x = -(-3) = 3 \] \[ z = -x = -(-3) = 3 \] Vậy \( x = -3 \), \( y = 3 \), \( z = 3 \). Cuối cùng, tính \( x + y + z \): \[ x + y + z = -3 + 3 + 3 = 3 \] Đáp số: \( x + y + z = 3 \). Câu 9. Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2 \), ta sẽ sử dụng tính chất trung điểm và tính chất của tổng bình phương khoảng cách từ một điểm đến các đỉnh của một tứ diện. Bước 1: Xác định tọa độ trung điểm của các đoạn thẳng: - Trung điểm của \( AB \): \[ M_{AB} = \left( \frac{2+1}{2}, \frac{4+4}{2}, \frac{-1-1}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 4, -1 \right) \] - Trung điểm của \( CD \): \[ M_{CD} = \left( \frac{2+2}{2}, \frac{4+2}{2}, \frac{3-1}{2} \right) = (2, 3, 1) \] Bước 2: Tìm trung điểm của \( M_{AB} \) và \( M_{CD} \): \[ M = \left( \frac{\frac{3}{2} + 2}{2}, \frac{4 + 3}{2}, \frac{-1 + 1}{2} \right) = \left( \frac{7}{4}, \frac{7}{2}, 0 \right) \] Bước 3: Tính \( x + y + z \): \[ x + y + z = \frac{7}{4} + \frac{7}{2} + 0 = \frac{7}{4} + \frac{14}{4} = \frac{21}{4} \] Vậy giá trị của \( x + y + z \) là: \[ \boxed{\frac{21}{4}} \] Câu 10. Để tìm điểm \( S(a, b, c) \) sao cho \( SA^2 + 2SB^2 + 3SC^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta sẽ tính các khoảng cách từ \( S \) đến các điểm \( A \), \( B \), và \( C \). 1. Tính \( SA^2 \): \[ SA^2 = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \] 2. Tính \( SB^2 \): \[ SB^2 = (a + 2)^2 + (b - 1)^2 + c^2 \] 3. Tính \( SC^2 \): \[ SC^2 = (a - 2)^2 + (b + 3)^2 + (c - 1)^2 \] Ta cần tối thiểu hóa biểu thức: \[ f(a, b, c) = SA^2 + 2SB^2 + 3SC^2 \] \[ f(a, b, c) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2[(a + 2)^2 + (b - 1)^2 + c^2] + 3[(a - 2)^2 + (b + 3)^2 + (c - 1)^2] \] Phát triển và nhóm các hạng tử: \[ f(a, b, c) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2(a^2 + 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 + c^2) + 3(a^2 - 4a + 4 + b^2 + 6b + 9 + c^2 - 2c + 1) \] \[ f(a, b, c) = (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) + 2(a^2 + 4a + 4 + b^2 - 2b + 1 + c^2) + 3(a^2 - 4a + 4 + b^2 + 6b + 9 + c^2 - 2c + 1) \] \[ f(a, b, c) = a^2 - 2a + 1 + b^2 - 2b + 1 + c^2 - 2c + 1 + 2a^2 + 8a + 8 + 2b^2 - 4b + 2 + 2c^2 + 3a^2 - 12a + 12 + 3b^2 + 18b + 27 + 3c^2 - 6c + 3 \] \[ f(a, b, c) = 6a^2 + 6b^2 + 6c^2 + (-2a + 8a - 12a) + (-2b - 4b + 18b) + (-2c - 6c) + (1 + 1 + 1 + 8 + 2 + 12 + 27 + 3) \] \[ f(a, b, c) = 6a^2 + 6b^2 + 6c^2 - 6a + 12b - 8c + 55 \] Để tối thiểu hóa \( f(a, b, c) \), ta lấy đạo hàm riêng theo \( a \), \( b \), và \( c \) và đặt chúng bằng 0: \[ \frac{\partial f}{\partial a} = 12a - 6 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \] \[ \frac{\partial f}{\partial b} = 12b + 12 = 0 \Rightarrow b = -1 \] \[ \frac{\partial f}{\partial c} = 12c - 8 = 0 \Rightarrow c = \frac{2}{3} \] Do đó, điểm \( S \left( \frac{1}{2}, -1, \frac{2}{3} \right) \). Kiểm tra điều kiện \( a + b + c = \frac{m}{n} \): \[ a + b + c = \frac{1}{2} - 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} - \frac{6}{6} + \frac{4}{6} = \frac{1}{6} \] Vậy \( \frac{m}{n} = \frac{1}{6} \), suy ra \( m = 1 \) và \( n = 6 \). Tính \( m + n \): \[ m + n = 1 + 6 = 7 \] Đáp số: \( m + n = 7 \).