giúppppo vs ạ

Câu 52. a) Tính $(\overrightarrow a.\overrightarrow b)\overrightarrow c$: - Tính tích vô hướng $\overrightarrow a.\overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a.\overrightarrow b = 2 \cdot 6 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot (-3) = 12 + 0 - 12 = 0 \] - Nhân kết quả này với vectơ $\overrightarrow c$: \[ (\overrightarrow a.\overrightarrow b)\overrightarrow c = 0 \cdot (3; 2; -1) = (0; 0; 0) \] b) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$: - Tính độ dài của $\overrightarrow a$: \[ |\overrightarrow a| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 25 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] - Tính độ dài của $\overrightarrow b$: \[ |\overrightarrow b| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 0 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] - Ta đã tính $\overrightarrow a.\overrightarrow b = 0$ ở phần trên. - Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $\theta$, ta có: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow a.\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|} = \frac{0}{(3\sqrt{5})(3\sqrt{5})} = 0 \] - Vậy $\theta = 90^\circ$. Đáp số: a) $(\overrightarrow a.\overrightarrow b)\overrightarrow c = (0; 0; 0)$ b) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $90^\circ$. Câu 53. a) Tính $4\overrightarrow a.\overrightarrow c+\overrightarrow b^2-5\overrightarrow c^2.$ Ta có: $\overrightarrow a.\overrightarrow c=3\times 3+2\times 2+2\sqrt3\times (-1)=9+4-2\sqrt3=13-2\sqrt3$ $\overrightarrow b^2=\overrightarrow b.\overrightarrow b=\sqrt3\times \sqrt3+2\sqrt3\times 2\sqrt3+(-1)\times (-1)=3+12+1=16$ $\overrightarrow c^2=\overrightarrow c.\overrightarrow c=3\times 3+2\times 2+(-1)\times (-1)=9+4+1=14$ Vậy $4\overrightarrow a.\overrightarrow c+\overrightarrow b^2-5\overrightarrow c^2=4(13-2\sqrt3)+16-5\times 14=52-8\sqrt3+16-70=-4-8\sqrt3$ b) Tính góc giữa 2 vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b.$ Ta có: $\overrightarrow a.\overrightarrow b=3\times \sqrt3+2\times 2\sqrt3+2\sqrt3\times (-1)=3\sqrt3+4\sqrt3-2\sqrt3=5\sqrt3$ $|\overrightarrow a|=\sqrt{3^2+2^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{9+4+12}=\sqrt{25}=5$ $|\overrightarrow b|=\sqrt{(\sqrt3)^2+(2\sqrt3)^2+(-1)^2}=\sqrt{3+12+1}=\sqrt{16}=4$ Gọi góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $\theta$. Ta có: $\cos \theta = \frac{\overrightarrow a.\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|} = \frac{5\sqrt3}{5\times 4} = \frac{\sqrt3}{4}$ Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)$. Câu 54. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = (x, y, z)$, ta cần sử dụng các điều kiện đã cho: 1. $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{a}$, tức là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = 0$: \[ x \cdot 2 + y \cdot 3 + z \cdot (-1) = 0 \] \[ 2x + 3y - z = 0 \quad \text{(1)} \] 2. $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{b}$, tức là $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{b} = 0$: \[ x \cdot 1 + y \cdot (-2) + z \cdot 3 = 0 \] \[ x - 2y + 3z = 0 \quad \text{(2)} \] 3. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{c} = -6$: \[ x \cdot 2 + y \cdot (-1) + z \cdot 1 = -6 \] \[ 2x - y + z = -6 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm $x$, $y$, và $z$. Từ phương trình (1): \[ 2x + 3y - z = 0 \quad \text{(1)} \] Từ phương trình (2): \[ x - 2y + 3z = 0 \quad \text{(2)} \] Từ phương trình (3): \[ 2x - y + z = -6 \quad \text{(3)} \] Ta nhân phương trình (1) với 3 rồi cộng với phương trình (2): \[ 3(2x + 3y - z) + (x - 2y + 3z) = 0 \] \[ 6x + 9y - 3z + x - 2y + 3z = 0 \] \[ 7x + 7y = 0 \] \[ x + y = 0 \quad \text{(4)} \] Từ phương trình (4), ta có: \[ y = -x \] Thay $y = -x$ vào phương trình (1): \[ 2x + 3(-x) - z = 0 \] \[ 2x - 3x - z = 0 \] \[ -x - z = 0 \] \[ z = -x \] Thay $y = -x$ và $z = -x$ vào phương trình (3): \[ 2x - (-x) + (-x) = -6 \] \[ 2x + x - x = -6 \] \[ 2x = -6 \] \[ x = -3 \] Do đó: \[ y = -(-3) = 3 \] \[ z = -(-3) = 3 \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là: \[ \overrightarrow{u} = (-3, 3, 3) \] Câu 55. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = (x, y, z)$, ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho để lập hệ phương trình. 1. Điều kiện đầu tiên: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{u} = -5$ \[ (2, -1, 3) \cdot (x, y, z) = -5 \] \[ 2x - y + 3z = -5 \quad \text{(1)} \] 2. Điều kiện thứ hai: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{b} = -11$ \[ (x, y, z) \cdot (1, -3, 2) = -11 \] \[ x - 3y + 2z = -11 \quad \text{(2)} \] 3. Điều kiện thứ ba: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{c} = 20$ \[ (x, y, z) \cdot (3, 2, -4) = 20 \] \[ 3x + 2y - 4z = 20 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} 2x - y + 3z = -5 \\ x - 3y + 2z = -11 \\ 3x + 2y - 4z = 20 \end{cases} \] Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng trừ. Bước 1: Nhân phương trình (2) với 2 rồi trừ phương trình (1): \[ 2(x - 3y + 2z) = 2(-11) \] \[ 2x - 6y + 4z = -22 \quad \text{(4)} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (4): \[ (2x - 6y + 4z) - (2x - y + 3z) = -22 - (-5) \] \[ -5y + z = -17 \quad \text{(5)} \] Bước 2: Nhân phương trình (2) với 3 rồi trừ phương trình (3): \[ 3(x - 3y + 2z) = 3(-11) \] \[ 3x - 9y + 6z = -33 \quad \text{(6)} \] Trừ phương trình (3) từ phương trình (6): \[ (3x - 9y + 6z) - (3x + 2y - 4z) = -33 - 20 \] \[ -11y + 10z = -53 \quad \text{(7)} \] Bước 3: Giải hệ phương trình (5) và (7): \[ \begin{cases} -5y + z = -17 \\ -11y + 10z = -53 \end{cases} \] Nhân phương trình (5) với 10: \[ -50y + 10z = -170 \quad \text{(8)} \] Trừ phương trình (7) từ phương trình (8): \[ (-50y + 10z) - (-11y + 10z) = -170 - (-53) \] \[ -39y = -117 \] \[ y = 3 \] Thay $y = 3$ vào phương trình (5): \[ -5(3) + z = -17 \] \[ -15 + z = -17 \] \[ z = -2 \] Bước 4: Thay $y = 3$ và $z = -2$ vào phương trình (1): \[ 2x - 3 + 3(-2) = -5 \] \[ 2x - 3 - 6 = -5 \] \[ 2x - 9 = -5 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $(2, 3, -2)$.