hộ mik vs ạ

Câu 12: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u} = 3\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$, ta thực hiện các phép tính sau: 1. Tính $3\overrightarrow{a}$: \[ 3\overrightarrow{a} = 3(3; 4; 2) = (9; 12; 6) \] 2. Tính $2\overrightarrow{b}$: \[ 2\overrightarrow{b} = 2(-5; 0; 3) = (-10; 0; 6) \] 3. Tính $-\overrightarrow{c}$: \[ -\overrightarrow{c} = -(1; 2; -4) = (-1; -2; 4) \] 4. Cộng các kết quả trên lại: \[ \overrightarrow{u} = (9; 12; 6) + (-10; 0; 6) + (-1; -2; 4) \] \[ \overrightarrow{u} = (9 - 10 - 1; 12 + 0 - 2; 6 + 6 + 4) \] \[ \overrightarrow{u} = (-2; 10; 16) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $(-2; 10; 16)$. Đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{u} = (-2; 10; 16)$. Câu 13: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 15\overrightarrow{c}$, ta thực hiện các phép tính sau: 1. Tính $2\overrightarrow{a}$: \[ 2\overrightarrow{a} = 2(-3; 5; 2) = (-6; 10; 4) \] 2. Tính $-3\overrightarrow{b}$: \[ -3\overrightarrow{b} = -3(0; -1; 3) = (0; 3; -9) \] 3. Tính $15\overrightarrow{c}$: \[ 15\overrightarrow{c} = 15(1; -1; 1) = (15; -15; 15) \] 4. Cộng các kết quả trên lại để tìm $\overrightarrow{v}$: \[ \overrightarrow{v} = (-6; 10; 4) + (0; 3; -9) + (15; -15; 15) \] \[ \overrightarrow{v} = (-6 + 0 + 15; 10 + 3 - 15; 4 - 9 + 15) \] \[ \overrightarrow{v} = (9; -2; 10) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow{v}$ là $(9; -2; 10)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{v} = (9; -2; 10)$. Câu 14: Để tìm tọa độ điểm \( M \) sao cho \( \overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MB} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0, -1 + 2, 2 + 1) = (1, 1, 3) \] 2. Tìm tọa độ điểm \( M \): Gọi \( M(x, y, z) \). Ta có: \[ \overrightarrow{MA} = A - M = (-x, -2 - y, -1 - z) \] \[ \overrightarrow{MB} = B - M = (1 - x, -1 - y, 2 - z) \] Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MB} \] Điều này dẫn đến: \[ (-x, -2 - y, -1 - z) = 2(1 - x, -1 - y, 2 - z) \] Ta giải từng thành phần: \[ -x = 2(1 - x) \implies -x = 2 - 2x \implies x = 2 \] \[ -2 - y = 2(-1 - y) \implies -2 - y = -2 - 2y \implies y = 0 \] \[ -1 - z = 2(2 - z) \implies -1 - z = 4 - 2z \implies z = 5 \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( (2, 0, 5) \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( M(2, 0, 5) \). Câu 15: Để tìm điểm M nằm trên trục Oz và cách đều hai điểm A và B, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm M: Vì điểm M nằm trên trục Oz, nên tọa độ của M sẽ có dạng $(0;0;z)$. 2. Tính khoảng cách từ M đến A và B: - Khoảng cách từ M đến A: \[ MA = \sqrt{(1-0)^2 + (3-0)^2 + (4-z)^2} = \sqrt{1 + 9 + (4-z)^2} = \sqrt{10 + (4-z)^2} \] - Khoảng cách từ M đến B: \[ MB = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (1-z)^2} = \sqrt{1 + (1-z)^2} \] 3. Điều kiện để M cách đều A và B: Ta có: \[ MA = MB \] Thay vào các biểu thức đã tính: \[ \sqrt{10 + (4-z)^2} = \sqrt{1 + (1-z)^2} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ 10 + (4-z)^2 = 1 + (1-z)^2 \] Mở rộng các bình phương: \[ 10 + 16 - 8z + z^2 = 1 + 1 - 2z + z^2 \] Rút gọn: \[ 26 - 8z = 2 - 2z \] Chuyển các hạng tử liên quan đến z sang một vế: \[ 26 - 2 = 8z - 2z \] \[ 24 = 6z \] Giải phương trình: \[ z = \frac{24}{6} = 4 \] 4. Kết luận: Tọa độ của điểm M là $(0;0;4)$. Vậy đáp án đúng là: A. $(0;0;4)$. Câu 16: Để tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB trong không gian, ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ I \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: - \( A(2, 1, 1) \) - \( B(-1, 2, 1) \) Tọa độ trung điểm \( I \) sẽ là: \[ I \left( \frac{2 + (-1)}{2}, \frac{1 + 2}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) \] Ta thực hiện các phép tính: \[ I \left( \frac{2 - 1}{2}, \frac{1 + 2}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = I \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{2}{2} \right) = I \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 1 \right) \] Vậy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \( I \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 1 \right) \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( I \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 1 \right) \) Câu 17: Để tìm điểm M trên đoạn thẳng AB sao cho MA = 2MB, ta sử dụng phương pháp chia đoạn thẳng theo tỉ số. Giả sử M có tọa độ là $(x, y, z)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1, -4 - 2, 9 - 3) = (-3, -6, 6) \] Mà M nằm trên đoạn AB và chia đoạn này theo tỉ số 2:1, tức là: \[ \overrightarrow{AM} = 2 \overrightarrow{MB} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} \] Tính $\overrightarrow{AM}$: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} (-3, -6, 6) = (-2, -4, 4) \] Vậy tọa độ của M là: \[ M = A + \overrightarrow{AM} = (1, 2, 3) + (-2, -4, 4) = (-1, -2, 7) \] Bây giờ, ta tính độ dài đoạn thẳng OM: \[ OM = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 4 + 49} = \sqrt{54} \] Vậy độ dài đoạn thẳng OM là $\sqrt{54}$. Đáp án đúng là: C. $\sqrt{54}$. Câu 18: Trọng tâm của tam giác ABC là G, ta có công thức tính tọa độ trọng tâm: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) \] Áp dụng vào bài toán: \[ G(1; -2; 3) \] \[ A(a; 0; 0) \] \[ B(0; b; 0) \] \[ C(0; 0; c) \] Tọa độ trọng tâm G là: \[ G\left(\frac{a + 0 + 0}{3}, \frac{0 + b + 0}{3}, \frac{0 + 0 + c}{3}\right) = G\left(\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{c}{3}\right) \] So sánh với tọa độ của G(1; -2; 3): \[ \frac{a}{3} = 1 \Rightarrow a = 3 \] \[ \frac{b}{3} = -2 \Rightarrow b = -6 \] \[ \frac{c}{3} = 3 \Rightarrow c = 9 \] Vậy: \[ a + b + c = 3 + (-6) + 9 = 6 \] Đáp án đúng là: C. 6. Câu 19: Để tìm tọa độ điểm \( D \) sao cho bốn điểm \( A, B, C, D \) lập thành một hình chữ nhật, ta cần đảm bảo rằng các cạnh của hình chữ nhật vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau. Bước 1: Xác định các vectơ cạnh của hình chữ nhật: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 3 - 1, 2 - 1) = (1, 2, 1) \) - Vectơ \( \overrightarrow{AC} = (3 - 1, -1 - 1, 3 - 1) = (2, -2, 2) \) Bước 2: Xác định vectơ \( \overrightarrow{AD} \): - Vì \( ABCD \) là hình chữ nhật, nên \( \overrightarrow{AD} \) sẽ bằng \( \overrightarrow{BC} \). Bước 3: Tính vectơ \( \overrightarrow{BC} \): - Vectơ \( \overrightarrow{BC} = (3 - 2, -1 - 3, 3 - 2) = (1, -4, 1) \) Bước 4: Tìm tọa độ điểm \( D \): - Ta có \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \), do đó tọa độ của \( D \) sẽ là: \[ D = A + \overrightarrow{BC} = (1, 1, 1) + (1, -4, 1) = (2, -3, 2) \] Vậy tọa độ của điểm \( D \) là \( (2, -3, 2) \). Đáp án đúng là: C. \( D(2, -3, 2) \). Câu 20: Để tìm tỉ số $\frac{AM}{BM}$, ta cần xác định tọa độ của điểm M, điểm cắt của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxz). 1. Phương trình đường thẳng AB: - Vector $\overrightarrow{AB} = (5 - (-2); 6 - 3; 2 - 1) = (7; 3; 1)$. - Đường thẳng AB đi qua điểm A(-2; 3; 1) và có vector phương là $\overrightarrow{AB} = (7; 3; 1)$. - Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \begin{cases} x = -2 + 7t \\ y = 3 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases} \] 2. Tìm tọa độ điểm M: - Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là $y = 0$. - Thay $y = 0$ vào phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ 3 + 3t = 0 \implies t = -1 \] - Thay $t = -1$ vào phương trình tham số để tìm tọa độ của điểm M: \[ \begin{cases} x = -2 + 7(-1) = -9 \\ y = 0 \\ z = 1 + (-1) = 0 \end{cases} \] - Vậy tọa độ của điểm M là $M(-9; 0; 0)$. 3. Tính khoảng cách AM và BM: - Khoảng cách từ A đến M: \[ AM = \sqrt{(-9 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59} \] - Khoảng cách từ B đến M: \[ BM = \sqrt{(5 - (-9))^2 + (6 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(14)^2 + (6)^2 + (2)^2} = \sqrt{196 + 36 + 4} = \sqrt{236} = 2\sqrt{59} \] 4. Tỉ số $\frac{AM}{BM}$: \[ \frac{AM}{BM} = \frac{\sqrt{59}}{2\sqrt{59}} = \frac{1}{2} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{AM}{BM} = \frac{1}{2}$. Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình tham số của đường thẳng AB. 2. Tìm tọa độ giao điểm C của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oyz). 3. Xác định các vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$. 4. So sánh các vectơ để tìm khẳng định đúng. Bước 1: Tìm phương trình tham số của đường thẳng AB Đường thẳng AB đi qua điểm A(-4;1;5) và có vectơ hướng $\overrightarrow{AB} = (1 - (-4); 5 - 1; -3 - 5) = (5; 4; -8)$. Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ x = -4 + 5t \\ y = 1 + 4t \\ z = 5 - 8t \] Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm C của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oyz) Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là x = 0. Thay x = 0 vào phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ 0 = -4 + 5t \\ 5t = 4 \\ t = \frac{4}{5} \] Thay \( t = \frac{4}{5} \) vào phương trình tham số của y và z: \[ y = 1 + 4 \left(\frac{4}{5}\right) = 1 + \frac{16}{5} = \frac{21}{5} \\ z = 5 - 8 \left(\frac{4}{5}\right) = 5 - \frac{32}{5} = \frac{-7}{5} \] Tọa độ giao điểm C là \(\left(0; \frac{21}{5}; \frac{-7}{5}\right)\). Bước 3: Xác định các vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$ Vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = \left(0 - (-4); \frac{21}{5} - 1; \frac{-7}{5} - 5\right) = \left(4; \frac{16}{5}; \frac{-32}{5}\right) \] Vectơ $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{BC} = \left(0 - 1; \frac{21}{5} - 5; \frac{-7}{5} - (-3)\right) = \left(-1; \frac{-4}{5}; \frac{8}{5}\right) \] Bước 4: So sánh các vectơ để tìm khẳng định đúng Ta thấy rằng: \[ \overrightarrow{AC} = 4 \cdot \left(-1; \frac{-4}{5}; \frac{8}{5}\right) = 4 \cdot \overrightarrow{BC} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ \overrightarrow{AC} = 4 \overrightarrow{BC} \] Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{AC} = 4 \overrightarrow{BC}$.