Giúp e phần này với ạ

Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của đồ thị hàm số và các điểm đặc biệt trên đồ thị để tìm các tham số \(a\), \(b\), và \(c\). 1. Xác định điểm tiệm cận đứng: - Đồ thị hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx - 1}\) có tiệm cận đứng tại \(x = \frac{1}{c}\). - Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận đứng nằm ở \(x = 1\). Do đó, ta có: \[ \frac{1}{c} = 1 \implies c = 1 \] 2. Xác định điểm tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang của hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx - 1}\) là \(y = \frac{a}{c}\). - Từ đồ thị, ta thấy tiệm cận ngang nằm ở \(y = 2\). Do đó, ta có: \[ \frac{a}{c} = 2 \implies a = 2c \implies a = 2 \times 1 = 2 \] 3. Xác định điểm giao với trục tung: - Điểm giao của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ \(x = 0\). Thay \(x = 0\) vào hàm số, ta có: \[ y = \frac{a \cdot 0 + b}{c \cdot 0 - 1} = \frac{b}{-1} = -b \] - Từ đồ thị, ta thấy điểm giao với trục tung là \((0, -1)\). Do đó, ta có: \[ -b = -1 \implies b = 1 \] 4. Tính \(a + b + 3c\): - Ta đã tìm được \(a = 2\), \(b = 1\), và \(c = 1\). Do đó: \[ a + b + 3c = 2 + 1 + 3 \times 1 = 2 + 1 + 3 = 6 \] Vậy, \(a + b + 3c = 6\). Đáp số: \(a + b + 3c = 6\). Câu 3: Để tìm cao độ của điểm \(D\), ta cần xác định tọa độ của điểm \(D\) trước. Điểm \(D\) là chân đường phân giác ngoài của góc \(B\) trong tam giác \(ABC\). Bước 1: Xác định tọa độ của điểm \(D\) Điểm \(D\) nằm trên đường thẳng \(AC\) và chia đoạn thẳng \(AC\) theo tỉ số \(AB : BC\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) và từ \(B\) đến \(C\): \[ AB = \sqrt{(4-2)^2 + (0+1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] \[ BC = \sqrt{(-10-4)^2 + (5-0)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{196 + 25 + 4} = \sqrt{225} = 15 \] Tỉ số \(AB : BC = 3 : 15 = 1 : 5\). Do đó, điểm \(D\) chia đoạn thẳng \(AC\) theo tỉ số \(1 : 5\). Bước 2: Tìm tọa độ của điểm \(D\) Sử dụng công thức chia đoạn thẳng theo tỉ số: \[ D = \left( \frac{x_1 + kx_2}{1+k}, \frac{y_1 + ky_2}{1+k}, \frac{z_1 + kz_2}{1+k} \right) \] Ở đây, \(k = 1/5\), \(A(2, -1, 3)\), \(C(-10, 5, 3)\): \[ D_x = \frac{2 + (-10) \cdot \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{2 - 2}{\frac{6}{5}} = 0 \] \[ D_y = \frac{-1 + 5 \cdot \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{-1 + 1}{\frac{6}{5}} = 0 \] \[ D_z = \frac{3 + 3 \cdot \frac{1}{5}}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{3 + \frac{3}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{15}{5} + \frac{3}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{\frac{18}{5}}{\frac{6}{5}} = 3 \] Vậy tọa độ của điểm \(D\) là \(D(0, 0, 3)\). Bước 3: Cao độ của điểm \(D\) Cao độ của điểm \(D\) là phần tử thứ ba trong tọa độ của nó, tức là \(z\)-tọa độ. Vậy cao độ của điểm \(D\) là 3. Đáp số: Cao độ của điểm \(D\) là 3. Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng và điều kiện: - Gọi chiều rộng của hình hộp chữ nhật là \( x \) (cm). - Chiều dài của hình hộp chữ nhật là \( 2x \) (cm). - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là \( h \) (cm). 2. Tính thể tích của hình hộp chữ nhật: - Thể tích \( V \) của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức: \[ V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao} \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ 24000 = 2x \times x \times h \] - Điều chỉnh lại phương trình: \[ 24000 = 2x^2h \] - Giải phương trình để tìm \( h \): \[ h = \frac{24000}{2x^2} = \frac{12000}{x^2} \] 3. Tính độ dài dây thép: - Độ dài dây thép bao quanh khung hình hộp chữ nhật là tổng chu vi của tất cả các cạnh. - Số cạnh của hình hộp chữ nhật là 12 (4 cạnh chiều dài, 4 cạnh chiều rộng, 4 cạnh chiều cao). - Chu vi của các cạnh là: \[ P = 4 \times (2x + x + h) = 4 \times (3x + h) \] - Thay \( h \) vào: \[ P = 4 \times \left(3x + \frac{12000}{x^2}\right) \] - Đơn giản hóa: \[ P = 12x + \frac{48000}{x^2} \] 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài dây thép: - Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \), chúng ta sẽ sử dụng đạo hàm. - Tính đạo hàm của \( P \) theo \( x \): \[ \frac{dP}{dx} = 12 - \frac{96000}{x^3} \] - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 12 - \frac{96000}{x^3} = 0 \] \[ 12 = \frac{96000}{x^3} \] \[ x^3 = \frac{96000}{12} = 8000 \] \[ x = \sqrt[3]{8000} = 20 \] 5. Kiểm tra điều kiện và tính toán: - Kiểm tra \( x = 20 \) trong điều kiện ban đầu: \[ h = \frac{12000}{20^2} = \frac{12000}{400} = 30 \] - Độ dài dây thép khi \( x = 20 \): \[ P = 12 \times 20 + \frac{48000}{20^2} = 240 + \frac{48000}{400} = 240 + 120 = 360 \] Vậy, chiều rộng của hình hộp chữ nhật để độ dài dây thép là nhỏ nhất là \( 20 \) cm. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hàm bậc 3: - Hàm bậc 3 có dạng tổng quát là \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). 2. Xác định các điểm trên đồ thị: - Điểm \( O(0, 0) \) - Điểm \( A(2, 0) \) - Điểm \( B(3, 0) \) 3. Áp dụng điều kiện để xác định các hệ số: - Vì hàm đi qua điểm \( O(0, 0) \), ta có \( d = 0 \). Vậy phương trình trở thành \( y = ax^3 + bx^2 + cx \). - Vì hàm đi qua điểm \( A(2, 0) \), ta có \( 0 = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) \) hay \( 8a + 4b + 2c = 0 \). - Vì hàm đi qua điểm \( B(3, 0) \), ta có \( 0 = a(3)^3 + b(3)^2 + c(3) \) hay \( 27a + 9b + 3c = 0 \). 4. Tìm điểm cực đại: - Để tìm điểm cực đại, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] - Đặt \( y' = 0 \): \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] 5. Giải hệ phương trình: - Ta có hai phương trình từ các điểm \( A \) và \( B \): \[ 8a + 4b + 2c = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 27a + 9b + 3c = 0 \quad \text{(2)} \] - Chia phương trình (2) cho 3: \[ 9a + 3b + c = 0 \quad \text{(3)} \] - Lấy phương trình (3) trừ phương trình (1): \[ (9a + 3b + c) - (8a + 4b + 2c) = 0 \] \[ a - b - c = 0 \quad \text{(4)} \] - Từ phương trình (4), ta có: \[ c = a - b \] - Thay vào phương trình (1): \[ 8a + 4b + 2(a - b) = 0 \] \[ 8a + 4b + 2a - 2b = 0 \] \[ 10a + 2b = 0 \] \[ 5a + b = 0 \quad \text{(5)} \] - Từ phương trình (5), ta có: \[ b = -5a \] - Thay vào phương trình (4): \[ c = a - (-5a) = 6a \] 6. Xác định giá trị của \( a \): - Biết rằng điểm cực đại có giá trị \( y = -0.25 \) tại \( x = 1.5 \): \[ y = a(1.5)^3 + b(1.5)^2 + c(1.5) \] \[ -0.25 = a(3.375) + b(2.25) + c(1.5) \] \[ -0.25 = 3.375a + 2.25(-5a) + 1.5(6a) \] \[ -0.25 = 3.375a - 11.25a + 9a \] \[ -0.25 = 1.125a \] \[ a = \frac{-0.25}{1.125} = -\frac{1}{4.5} = -\frac{2}{9} \] 7. Tính chiều cao ngọn đồi: - Tại điểm \( x = 0 \): \[ y = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) = 0 \] - Tại điểm \( x = 2 \): \[ y = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) \] \[ y = -\frac{2}{9}(8) + (-5)(-\frac{2}{9})(4) + 6(-\frac{2}{9})(2) \] \[ y = -\frac{16}{9} + \frac{40}{9} - \frac{24}{9} \] \[ y = \frac{-16 + 40 - 24}{9} = 0 \] 8. Kết luận: - Chiều cao ngọn đồi là khoảng cách từ điểm \( O \) đến điểm cực đại: \[ \text{Chiều cao ngọn đồi} = 0.25 \text{ km} = 250 \text{ m} \] Đáp số: Chiều cao ngọn đồi là 250 m.