Giúp em giải phần này với ạ

Câu 2: Câu a: Để ba điểm \( M(x_M, y_M, z_M) \), \( A(2, 1, 3) \), và \( B(1, -1, 4) \) thẳng hàng, ta cần kiểm tra điều kiện vectơ \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MB} \) cùng phương. Vectơ \( \overrightarrow{MA} \): \[ \overrightarrow{MA} = (2 - x_M, 1 - y_M, 3 - z_M) \] Vectơ \( \overrightarrow{MB} \): \[ \overrightarrow{MB} = (1 - x_M, -1 - y_M, 4 - z_M) \] Điều kiện để hai vectơ cùng phương là: \[ \frac{2 - x_M}{1 - x_M} = \frac{1 - y_M}{-1 - y_M} = \frac{3 - z_M}{4 - z_M} \] Giải hệ phương trình này, ta có: \[ \frac{2 - x_M}{1 - x_M} = \frac{1 - y_M}{-1 - y_M} \] \[ \Rightarrow (2 - x_M)(-1 - y_M) = (1 - y_M)(1 - x_M) \] \[ \Rightarrow -2 - 2y_M + x_M + x_My_M = 1 - x_M - y_M + x_My_M \] \[ \Rightarrow -2 - 2y_M + x_M = 1 - x_M - y_M \] \[ \Rightarrow 2x_M - y_M = 3 \quad \text{(1)} \] Tương tự: \[ \frac{2 - x_M}{1 - x_M} = \frac{3 - z_M}{4 - z_M} \] \[ \Rightarrow (2 - x_M)(4 - z_M) = (3 - z_M)(1 - x_M) \] \[ \Rightarrow 8 - 2z_M - 4x_M + x_Mz_M = 3 - 3x_M - z_M + x_Mz_M \] \[ \Rightarrow 8 - 2z_M - 4x_M = 3 - 3x_M - z_M \] \[ \Rightarrow -x_M - z_M = -5 \quad \text{(2)} \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ 2x_M - y_M = 3 \] \[ -x_M - z_M = -5 \] Từ phương trình (2): \[ z_M = 5 - x_M \] Thay vào phương trình (1): \[ 2x_M - y_M = 3 \] \[ y_M = 2x_M - 3 \] Ta có: \[ x_M + y_M = x_M + (2x_M - 3) = 3x_M - 3 \] Theo đề bài, \( x_M + y_M = 12 \): \[ 3x_M - 3 = 12 \] \[ 3x_M = 15 \] \[ x_M = 5 \] Do đó: \[ y_M = 2(5) - 3 = 7 \] Vậy \( x_M = 5 \) và \( y_M = 7 \). Câu b: Để tính chu vi của tam giác \( \Delta ABC \) với \( A(1, 4, 1) \), \( B(2, 3, -5) \), và \( C(3, 1, 1) \): 1. Tính khoảng cách \( AB \): \[ AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 4)^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 36} = \sqrt{38} \approx 6.16 \] 2. Tính khoảng cách \( BC \): \[ BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - 3)^2 + (1 + 5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41} \approx 6.40 \] 3. Tính khoảng cách \( CA \): \[ CA = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 4)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 0} = \sqrt{13} \approx 3.61 \] Chu vi của \( \Delta ABC \): \[ P = AB + BC + CA \approx 6.16 + 6.40 + 3.61 = 16.17 \] Vậy chu vi của \( \Delta ABC \) là \( 16.2 \) (làm tròn đến hàng phần mười). Câu c: Phương trình mặt phẳng \( (P) \) song song với mặt phẳng \( (Q) \) có phương trình \( 2x - y + z - 3 = 0 \). Một vectơ pháp tuyến của \( (P) \) là: \[ \overrightarrow{n} = (2, -1, 1) \] Câu d: Để tính thể tích của tứ diện \( ABCD \) với \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 1, 0) \), \( C(0, 0, 1) \), và \( D(-2, 1, -1) \): 1. Tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \), và \( \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-1, 0, 1) \] \[ \overrightarrow{AD} = (-3, 1, -1) \] 2. Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1, 1, 1) \] 3. Tính tích vô hướng \( (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} \): \[ (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = (1, 1, 1) \cdot (-3, 1, -1) = -3 + 1 - 1 = -3 \] 4. Thể tích của tứ diện \( ABCD \): \[ V_{ABCD} = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}| = \frac{1}{6} |-3| = \frac{1}{2} \] Vậy thể tích của tứ diện \( ABCD \) là \( \frac{1}{2} \). Câu e: Chi phí để sản xuất trung bình mỗi sản phẩm \( f(x) \) là: \[ f(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{2x^2 + x + 25}{x} = 2x + 1 + \frac{25}{x} \] Để tìm giá trị cực tiểu của \( f(x) \), ta tính đạo hàm: \[ f'(x) = 2 - \frac{25}{x^2} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 2 - \frac{25}{x^2} = 0 \] \[ \frac{25}{x^2} = 2 \] \[ x^2 = \frac{25}{2} \] \[ x = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Kiểm tra đạo hàm hai lần: \[ f''(x) = \frac{50}{x^3} \] Tại \( x = \frac{5\sqrt{2}}{2} \): \[ f''\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{50}{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^3} > 0 \] Vậy \( f(x) \) đạt giá trị cực tiểu tại \( x = \frac{5\sqrt{2}}{2} \). Giá trị cực tiểu của \( f(x) \) là: \[ f\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right) + 1 + \frac{25}{\frac{5\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{2} + 1 + \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} + 1 + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2} + 1 \] Vậy giá trị cực tiểu của \( f(x) \) là \( 10\sqrt{2} + 1 \). Câu 2: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 4x + 2\sin(2x) + e^x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong \( f(x) \). 1. Tính nguyên hàm của \( 4x \): \[ \int 4x \, dx = 4 \int x \, dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 + C_1 \] 2. Tính nguyên hàm của \( 2\sin(2x) \): \[ \int 2\sin(2x) \, dx = 2 \int \sin(2x) \, dx = 2 \left( -\frac{\cos(2x)}{2} \right) = -\cos(2x) + C_2 \] 3. Tính nguyên hàm của \( e^x \): \[ \int e^x \, dx = e^x + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ F(x) = 2x^2 - \cos(2x) + e^x + C \] Trong đó \( C = C_1 + C_2 + C_3 \) là hằng số tích phân. Biết rằng \( F(x) = 3 \) tại một điểm nào đó, ta có thể xác định hằng số \( C \). Tuy nhiên, vì không có thông tin cụ thể về giá trị của \( x \) khi \( F(x) = 3 \), ta sẽ giữ \( C \) là hằng số chưa xác định. Do đó, nguyên hàm \( F(x) \) của \( f(x) = 4x + 2\sin(2x) + e^x \) là: \[ F(x) = 2x^2 - \cos(2x) + e^x + C \] Đáp số: \( F(x) = 2x^2 - \cos(2x) + e^x + C \) Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của hàm số bậc ba \( f(x) \). 2. Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số để xác định điểm sâu nhất của hồ. 3. Tính độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất. Bước 1: Xác định phương trình của hàm số bậc ba \( f(x) \). Hàm số bậc ba có dạng: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Biết rằng: - \( f(0) = 0 \) (do điểm A nằm trên trục y) - \( f(2) = 0 \) (do điểm B nằm trên trục y) - \( f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \) Từ \( f(0) = 0 \): \[ d = 0 \] Từ \( f(2) = 0 \): \[ 8a + 4b + 2c = 0 \] \[ 4a + 2b + c = 0 \quad \text{(1)} \] Bước 2: Tìm đạo hàm của \( f(x) \) và xác định điểm cực đại và cực tiểu. Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Để tìm điểm cực đại và cực tiểu, ta giải phương trình: \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Bước 3: Xác định các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \). Do ngọn đồi cao 528m, ta có: \[ f(1) = -528 \] Thay vào phương trình: \[ a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = -528 \] \[ a + b + c = -528 \quad \text{(2)} \] Ta có hai phương trình: \[ 4a + 2b + c = 0 \quad \text{(1)} \] \[ a + b + c = -528 \quad \text{(2)} \] Giải hệ phương trình này: Trừ phương trình (2) từ phương trình (1): \[ (4a + 2b + c) - (a + b + c) = 0 - (-528) \] \[ 3a + b = 528 \quad \text{(3)} \] Giả sử \( a = 1 \): \[ 3(1) + b = 528 \] \[ b = 525 \] Thay \( a = 1 \) và \( b = 525 \) vào phương trình (2): \[ 1 + 525 + c = -528 \] \[ c = -1054 \] Vậy phương trình của hàm số là: \[ f(x) = x^3 + 525x^2 - 1054x \] Bước 4: Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. Đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 + 1050x - 1054 \] Giải phương trình: \[ 3x^2 + 1050x - 1054 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-1050 \pm \sqrt{1050^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1054)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-1050 \pm \sqrt{1102500 + 12648}}{6} \] \[ x = \frac{-1050 \pm \sqrt{1115148}}{6} \] \[ x = \frac{-1050 \pm 1056}{6} \] Có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1050 + 1056}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1050 - 1056}{6} = -351 \] Bước 5: Tính độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất. Do \( x = 1 \) nằm trong khoảng \( [0, 2] \), ta tính \( f(1) \): \[ f(1) = 1^3 + 525(1)^2 - 1054(1) \] \[ f(1) = 1 + 525 - 1054 \] \[ f(1) = -528 \] Vậy độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất là 528m. Đáp số: Độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất là 528m.