Ai giúp em câu này với...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ xét từng phần riêng lẻ. Phần 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ sao cho $5(x^2 - 6xy + 7y^2 + 1)$ là số chính phương. Gọi $5(x^2 - 6xy + 7y^2 + 1) = k^2$, với $k$ là số nguyên. Ta có: \[ x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 = \frac{k^2}{5} \] Do $k^2$ là số chính phương nên $\frac{k^2}{5}$ cũng phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra nếu $k^2$ chia hết cho 5, tức là $k$ phải chia hết cho 5. Gọi $k = 5m$, với $m$ là số nguyên. Thay vào ta có: \[ x^2 - 6xy + 7y^2 + 1 = 5m^2 \] Nhận thấy rằng $x^2 - 6xy + 7y^2 + 1$ phải là số chia hết cho 5. Ta sẽ kiểm tra các trường hợp của $x$ và $y$ modulo 5. Trường hợp 1: $x \equiv 0 \pmod{5}$ và $y \equiv 0 \pmod{5}$ \[ x = 5a, y = 5b \] \[ (5a)^2 - 6(5a)(5b) + 7(5b)^2 + 1 = 25(a^2 - 6ab + 7b^2) + 1 \] \[ 25(a^2 - 6ab + 7b^2) + 1 \equiv 1 \pmod{5} \] Điều này không thể là số chia hết cho 5. Trường hợp 2: $x \equiv 1 \pmod{5}$ và $y \equiv 1 \pmod{5}$ \[ x = 5a + 1, y = 5b + 1 \] \[ (5a + 1)^2 - 6(5a + 1)(5b + 1) + 7(5b + 1)^2 + 1 \] \[ = 25a^2 + 10a + 1 - 6(25ab + 5a + 5b + 1) + 7(25b^2 + 10b + 1) + 1 \] \[ = 25a^2 + 10a + 1 - 150ab - 30a - 30b - 6 + 175b^2 + 70b + 7 + 1 \] \[ = 25a^2 - 150ab + 175b^2 + 10a - 30a + 70b - 30b + 3 \] \[ = 25(a^2 - 6ab + 7b^2) + 10a - 30a + 70b - 30b + 3 \] \[ = 25(a^2 - 6ab + 7b^2) - 20a + 40b + 3 \] Điều này không thể là số chia hết cho 5. Tương tự, ta kiểm tra các trường hợp khác và thấy rằng không có cặp số nguyên nào thỏa mãn điều kiện trên. Phần 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ sao cho $2(x^2 + xy + 7y + 1)$ là số chính phương. Gọi $2(x^2 + xy + 7y + 1) = k^2$, với $k$ là số nguyên. Ta có: \[ x^2 + xy + 7y + 1 = \frac{k^2}{2} \] Do $k^2$ là số chính phương nên $\frac{k^2}{2}$ cũng phải là số nguyên. Điều này chỉ xảy ra nếu $k^2$ chia hết cho 2, tức là $k$ phải chẵn. Gọi $k = 2m$, với $m$ là số nguyên. Thay vào ta có: \[ x^2 + xy + 7y + 1 = 2m^2 \] Nhận thấy rằng $x^2 + xy + 7y + 1$ phải là số chẵn. Ta sẽ kiểm tra các trường hợp của $x$ và $y$ modulo 2. Trường hợp 1: $x$ và $y$ đều chẵn \[ x = 2a, y = 2b \] \[ (2a)^2 + (2a)(2b) + 7(2b) + 1 = 4a^2 + 4ab + 14b + 1 \] \[ 4a^2 + 4ab + 14b + 1 \equiv 1 \pmod{2} \] Điều này không thể là số chẵn. Trường hợp 2: $x$ và $y$ đều lẻ \[ x = 2a + 1, y = 2b + 1 \] \[ (2a + 1)^2 + (2a + 1)(2b + 1) + 7(2b + 1) + 1 \] \[ = 4a^2 + 4a + 1 + 4ab + 2a + 2b + 1 + 14b + 7 + 1 \] \[ = 4a^2 + 4ab + 6a + 16b + 10 \] \[ = 4(a^2 + ab + \frac{3}{2}a + 4b + \frac{5}{2}) \] Điều này không thể là số chẵn. Tương tự, ta kiểm tra các trường hợp khác và thấy rằng không có cặp số nguyên nào thỏa mãn điều kiện trên. Kết luận Không có cặp số nguyên $(x, y)$ nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên.