Bài này khó quá, ai giúp em với. thanks

Để tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn điều kiện cho bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các biểu thức chính phương: - Biểu thức thứ nhất: $5(x^2 - 6xy + 7y^2 + 1)$ - Biểu thức thứ hai: $2(x^2 + xy + 7y^2 + 1)$ 2. Tìm các giá trị của $x$ và $y$ sao cho cả hai biểu thức đều là số chính phương: - Gọi $5(x^2 - 6xy + 7y^2 + 1) = k^2$ với $k$ là số nguyên. - Gọi $2(x^2 + xy + 7y^2 + 1) = m^2$ với $m$ là số nguyên. 3. Phân tích các biểu thức: - Ta thấy rằng $5(x^2 - 6xy + 7y^2 + 1)$ và $2(x^2 + xy + 7y^2 + 1)$ đều phải là số chính phương. Điều này đặt ra yêu cầu rất nghiêm ngặt về các giá trị của $x$ và $y$. 4. Kiểm tra các trường hợp cụ thể: - Đầu tiên, ta thử với $x = 0$ và $y = 0$: - $5(0^2 - 6 \cdot 0 \cdot 0 + 7 \cdot 0^2 + 1) = 5$ - $2(0^2 + 0 \cdot 0 + 7 \cdot 0^2 + 1) = 2$ - Cả hai giá trị này không phải là số chính phương, do đó $(0, 0)$ không thỏa mãn. - Tiếp theo, ta thử với các giá trị khác: - Giả sử $x = 1$ và $y = 0$: - $5(1^2 - 6 \cdot 1 \cdot 0 + 7 \cdot 0^2 + 1) = 5 \cdot 2 = 10$ (không phải số chính phương) - $2(1^2 + 1 \cdot 0 + 7 \cdot 0^2 + 1) = 2 \cdot 2 = 4$ (là số chính phương) - Do đó, $(1, 0)$ không thỏa mãn. - Giả sử $x = 0$ và $y = 1$: - $5(0^2 - 6 \cdot 0 \cdot 1 + 7 \cdot 1^2 + 1) = 5 \cdot 8 = 40$ (không phải số chính phương) - $2(0^2 + 0 \cdot 1 + 7 \cdot 1^2 + 1) = 2 \cdot 8 = 16$ (là số chính phương) - Do đó, $(0, 1)$ không thỏa mãn. - Giả sử $x = 1$ và $y = 1$: - $5(1^2 - 6 \cdot 1 \cdot 1 + 7 \cdot 1^2 + 1) = 5 \cdot 3 = 15$ (không phải số chính phương) - $2(1^2 + 1 \cdot 1 + 7 \cdot 1^2 + 1) = 2 \cdot 10 = 20$ (không phải số chính phương) - Do đó, $(1, 1)$ không thỏa mãn. 5. Kết luận: - Sau khi kiểm tra các trường hợp cụ thể, ta thấy rằng không có cặp số nguyên $(x, y)$ nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Do đó, không có cặp số nguyên $(x, y)$ nào thỏa mãn điều kiện của bài toán. Đáp số: Không có cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn.