giúp mình với nhé

Câu 17. Để tìm độ dài của đoạn thẳng \(AC'\) trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương: - \(A(0;0;0)\) - \(B(\sqrt[4]{2};0;0)\) - \(D(0;\sqrt[4]{2};0)\) - \(A'(0;0;\sqrt[4]{2})\) 2. Tìm tọa độ của đỉnh \(C'\): Vì \(ABCD\) là hình vuông và \(A'B'C'D'\) là hình lập phương, ta có: - \(C\) nằm ở giao điểm của các đường thẳng từ \(B\) và \(D\), do đó \(C(\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2};0)\). - \(C'\) nằm trên đường thẳng từ \(C\) lên trên theo chiều \(z\), do đó \(C'(\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2})\). 3. Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: Độ dài đoạn thẳng \(AC'\) được tính bằng công thức: \[ AC' = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của \(A(0;0;0)\) và \(C'(\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2})\) vào công thức: \[ AC' = \sqrt{(\sqrt[4]{2} - 0)^2 + (\sqrt[4]{2} - 0)^2 + (\sqrt[4]{2} - 0)^2} \] \[ AC' = \sqrt{(\sqrt[4]{2})^2 + (\sqrt[4]{2})^2 + (\sqrt[4]{2})^2} \] \[ AC' = \sqrt{\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2}} \] \[ AC' = \sqrt{3\sqrt{2}} \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: Ta có: \[ \sqrt{3\sqrt{2}} \approx \sqrt{3 \times 1.414} \approx \sqrt{4.242} \approx 2.06 \] Vậy độ dài của đoạn thẳng \(AC'\) là \(2.06\) (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 18. Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( C(t) = \frac{0,15t}{t^2 + 1} \), ta sẽ sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực đại của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của \( C(t) \). \[ C'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{0,15t}{t^2 + 1}\right) \] Áp dụng quy tắc thương của đạo hàm: \[ C'(t) = \frac{(0,15)(t^2 + 1) - (0,15t)(2t)}{(t^2 + 1)^2} \] \[ C'(t) = \frac{0,15(t^2 + 1) - 0,3t^2}{(t^2 + 1)^2} \] \[ C'(t) = \frac{0,15t^2 + 0,15 - 0,3t^2}{(t^2 + 1)^2} \] \[ C'(t) = \frac{-0,15t^2 + 0,15}{(t^2 + 1)^2} \] \[ C'(t) = \frac{0,15(1 - t^2)}{(t^2 + 1)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực đại bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ C'(t) = 0 \] \[ \frac{0,15(1 - t^2)}{(t^2 + 1)^2} = 0 \] Phương trình này đúng khi: \[ 0,15(1 - t^2) = 0 \] \[ 1 - t^2 = 0 \] \[ t^2 = 1 \] \[ t = 1 \text{ hoặc } t = -1 \] Vì \( t \geq 0 \), ta chỉ xét \( t = 1 \). Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở các điểm lân cận \( t = 1 \). - Khi \( t < 1 \), \( 1 - t^2 > 0 \), do đó \( C'(t) > 0 \). - Khi \( t > 1 \), \( 1 - t^2 < 0 \), do đó \( C'(t) < 0 \). Như vậy, \( t = 1 \) là điểm cực đại của hàm số \( C(t) \). Bước 4: Tính giá trị của \( C(t) \) tại \( t = 1 \). \[ C(1) = \frac{0,15 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{0,15}{2} = 0,075 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \( C(t) \) là 0,075 mg/cm³, đạt được khi \( t = 1 \) giờ. Đáp số: 0,075 mg/cm³. Câu 19. a) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ta có: $f'(x)=24-6x^2=6(4-x^2).$ $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm 2.$ Ta có bảng biến thiên: \begin{tabular}{|c|ccccccc|} \hline $x$ & $-\infty$ & & $-2$ & & $2$ & & $+\infty$ \\ \hline $f'(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & \\ \hline $f(x)$ & & $\nearrow$ & $16$ & $\searrow$ & $-16$ & $\nearrow$ & \\ \hline \end{tabular} Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2)$ và $(2;+\infty).$ Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;2).$ b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên $[0;4].$ Ta có: $f(0)=0,$ $f(2)=-16,$ $f(4)=0.$ Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $(2;4)$ thì $f(x)< 0.$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên $[0;4]$ là $0.$ Câu 20. Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz với gốc O tại A, trục Ox dọc theo AB, trục Oy dọc theo AD và trục Oz dọc theo AA'. - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (1, 0, 0) - Điểm D có tọa độ (0, 2, 0) - Điểm A' có tọa độ (0, 0, 3) - Điểm B' có tọa độ (1, 0, 3) - Điểm C' có tọa độ (1, 2, 3) Điểm M nằm trên đoạn CC' sao cho CM = 2MC'. Ta tính tọa độ của M: - Điểm C có tọa độ (1, 2, 0) - Điểm C' có tọa độ (1, 2, 3) M nằm trên đoạn CC', do đó tọa độ của M sẽ là: \[ M = (1, 2, z) \] Vì CM = 2MC', ta có: \[ z - 0 = 2(3 - z) \] \[ z = 2(3 - z) \] \[ z = 6 - 2z \] \[ 3z = 6 \] \[ z = 2 \] Do đó, tọa độ của M là (1, 2, 2). Tiếp theo, ta tìm các vectơ AM và B'D: - Vectơ AM = M - A = (1, 2, 2) - (0, 0, 0) = (1, 2, 2) - Vectơ B'D = D - B' = (0, 2, 0) - (1, 0, 3) = (-1, 2, -3) Cuối cùng, ta tính tích vô hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{B'D} = (1, 2, 2) \cdot (-1, 2, -3) \] \[ = 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) \] \[ = -1 + 4 - 6 \] \[ = -3 \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{B'D} = -3 \] Câu 21. Để tìm góc giữa đường bay của máy bay và mặt đất, ta cần tính góc giữa vectơ chỉ phương của đường bay và vectơ chỉ phương của mặt đất. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của đường bay. - Điểm xuất phát: $A(-50; 30; 10)$ - Điểm hạ cánh: $B(2; 3; 0)$ - Vectơ chỉ phương của đường bay $\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-50); 3 - 30; 0 - 10) = (52; -27; -10)$ Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương của mặt đất. - Mặt đất là mặt phẳng xy, do đó vectơ chỉ phương của mặt đất là $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$ Bước 3: Tính cosin của góc giữa hai vectơ. - Công thức tính cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] - Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k}$: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{k} = 52 \cdot 0 + (-27) \cdot 0 + (-10) \cdot 1 = -10 \] - Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{52^2 + (-27)^2 + (-10)^2} = \sqrt{2704 + 729 + 100} = \sqrt{3533} \] - Độ dài vectơ $\overrightarrow{k}$: \[ |\overrightarrow{k}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \] - Vậy: \[ \cos(\theta) = \frac{-10}{\sqrt{3533} \cdot 1} = \frac{-10}{\sqrt{3533}} \] Bước 4: Tính góc $\theta$. \[ \theta = \arccos\left(\frac{-10}{\sqrt{3533}}\right) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của $\theta$: \[ \theta \approx 92.72^\circ \] Vậy góc giữa đường bay của máy bay và mặt đất là khoảng 92.72 độ.