Giúp mik câu 41 vs 46 47 49 50 51 và hướng dẫn giải thích ạ

Câu 41: Để xác định hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (3x + 1)^5 \), ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số \( F(x) \) đã cho xem có bằng \( f(x) \) hay không. A. \( F(x) = \frac{(3x + 1)^6}{18} + 8 \) Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \left( \frac{(3x + 1)^6}{18} + 8 \right)' = \frac{1}{18} \cdot 6(3x + 1)^5 \cdot 3 = (3x + 1)^5 \] B. \( F(x) = \frac{(3x + 1)^6}{18} - 2 \) Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \left( \frac{(3x + 1)^6}{18} - 2 \right)' = \frac{1}{18} \cdot 6(3x + 1)^5 \cdot 3 = (3x + 1)^5 \] C. \( F(x) = \frac{(3x + 1)^6}{18} \) Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \left( \frac{(3x + 1)^6}{18} \right)' = \frac{1}{18} \cdot 6(3x + 1)^5 \cdot 3 = (3x + 1)^5 \] D. \( F(x) = \frac{(3x + 1)^6}{6} \) Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \left( \frac{(3x + 1)^6}{6} \right)' = \frac{1}{6} \cdot 6(3x + 1)^5 \cdot 3 = 3(3x + 1)^5 \neq (3x + 1)^5 \] Như vậy, hàm số \( F(x) = \frac{(3x + 1)^6}{6} \) không phải là nguyên hàm của hàm số \( f(x) = (3x + 1)^5 \). Đáp án đúng là: D. \( F(x) = \frac{(3x + 1)^6}{6} \). Câu 46: Để tìm hàm số \( f(x) \) sao cho \( F(x) = e^x + \tan x + C \) là nguyên hàm của \( f(x) \), ta cần tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của mỗi thành phần trong \( F(x) \): - Đạo hàm của \( e^x \) là \( e^x \). - Đạo hàm của \( \tan x \) là \( \frac{1}{\cos^2 x} \). - Đạo hàm của hằng số \( C \) là 0. Bước 2: Kết hợp các đạo hàm trên: \[ F'(x) = e^x + \frac{1}{\cos^2 x} \] Như vậy, hàm số \( f(x) \) cần tìm là: \[ f(x) = e^x + \frac{1}{\cos^2 x} \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( f(x) = e^x + \frac{1}{\cos^2 x} \) Đáp số: D. \( f(x) = e^x + \frac{1}{\cos^2 x} \) Câu 47: Để tìm hàm số \( f(x) \), ta cần tính đạo hàm của nguyên hàm đã cho. Ta có: \[ \int f(x) \, dx = \frac{1}{x} + \ln |2x| + C \] Tính đạo hàm của mỗi thành phần bên phải: 1. Đạo hàm của \(\frac{1}{x}\): \[ \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^2} \] 2. Đạo hàm của \(\ln |2x|\): \[ \left( \ln |2x| \right)' = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x} \] Do đó, đạo hàm của tổng là: \[ f(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( f(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \) Đáp án: A. \( f(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} \) Câu 48: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x^2 + \frac{2}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức đã rút gọn: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 + \frac{2}{x^2} \right) \, dx \] Bước 3: Tính nguyên hàm từng thành phần: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] \[ \int \frac{2}{x^2} \, dx = 2 \int x^{-2} \, dx = 2 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{2}{x} + C_2 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả trên: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x^4 + 2}{x^2} \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. $\int f(x) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C$. Câu 49: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} \). Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( f(x) \). Nguyên hàm của \( x^n \) là \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). Áp dụng vào hàm số \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} \): \[ \int f(x) \, dx = \int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \] Bước 2: So sánh kết quả với các lựa chọn đã cho. A. \( \int f(x) \, dx = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + C \) B. \( \int f(x) \, dx = \int \sqrt{x^3} \, dx \) C. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \) D. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C \) Như vậy, kết quả đúng là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \] Do đó, mệnh đề đúng là: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \) Đáp án: C. \( \int f(x) \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C \) Câu 50: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = e^{2x-1} \), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số dạng \( e^{f(x)} \). Bước 1: Xác định hàm số \( f(x) \) trong biểu thức \( e^{f(x)} \). Trong trường hợp này, \( f(x) = 2x - 1 \). Bước 2: Tìm đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 \] Bước 3: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số \( e^{f(x)} \): \[ \int e^{f(x)} \, dx = \frac{1}{f'(x)} e^{f(x)} + C \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int e^{2x-1} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x-1} + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( y = e^{2x-1} \) là: \[ \frac{1}{2} e^{2x-1} + C \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \frac{1}{2} e^{2x-1} + C \) Đáp số: C. \( \frac{1}{2} e^{2x-1} + C \) Câu 51: Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = 3 - \frac{1}{\sin^2 x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong hàm số \( f(x) \). - Nguyên hàm của \( 3 \) là \( 3x + C_1 \). - Ta biết rằng \( \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x \). Nguyên hàm của \( \csc^2 x \) là \( -\cot x + C_2 \). Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm đã tìm được. \[ F(x) = \int \left( 3 - \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx = \int 3 dx - \int \frac{1}{\sin^2 x} dx \] \[ F(x) = 3x + C_1 - (-\cot x + C_2) \] \[ F(x) = 3x + C_1 + \cot x - C_2 \] Bước 3: Gộp các hằng số \( C_1 \) và \( -C_2 \) thành một hằng số tổng quát \( C \). \[ F(x) = 3x + \cot x + C \] Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \) và \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Do đó, \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \). Vì vậy, ta có thể viết lại \( F(x) \) dưới dạng: \[ F(x) = 3x - \tan x + C \] Vậy, đáp án đúng là: A. \( F(x) = 3x - \tan x + C \) Đáp án: A. \( F(x) = 3x - \tan x + C \)