Em cần gấp ạ

a) Chứng minh: \( MB = MC \) và \( AB^2 = AC \cdot AD \) - Ta có \( OC \perp CM \) (vì \( CM \) là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại \( C \)). - \( OB \perp BM \) (vì \( BM \) là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại \( B \)). Do đó, \( \triangle OCM \) và \( \triangle OBM \) là các tam giác vuông tại \( C \) và \( B \) tương ứng. - \( OC = OB \) (vì cả hai đều là bán kính của nửa đường tròn). - \( OM \) chung. Vậy theo định lý Pythagoras, ta có: \[ OM^2 = OC^2 + CM^2 = OB^2 + BM^2 \] Từ đó suy ra: \[ CM = BM \] - Xét \( \triangle ABC \) và \( \triangle ABD \): - \( \angle ACB = \angle ADB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - \( \angle CAB \) chung. Vậy \( \triangle ABC \sim \triangle ABD \) (cùng có góc chung và góc vuông). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB} \] Nhân cả hai vế với \( AB \cdot AC \), ta được: \[ AB^2 = AC \cdot AD \] b) Chứng minh: \( M \) là trung điểm của \( BD \) và ba điểm \( A, I, M \) thẳng hàng. - Ta có \( CH \perp AB \) tại \( H \), \( I \) là trung điểm của \( CH \). - Xét \( \triangle CHM \): - \( CI = IH \) (vì \( I \) là trung điểm của \( CH \)). - \( \angle CHM = 90^\circ \). Vậy \( \triangle CHM \) là tam giác vuông cân tại \( H \), do đó: \[ CM = MH \] - Ta đã chứng minh \( MB = MC \), nên: \[ MB = MH \] Vậy \( M \) là trung điểm của \( BD \). - Xét \( \triangle ACH \): - \( AI \) là đường trung tuyến hạ từ đỉnh \( A \) đến cạnh \( CH \). - Xét \( \triangle ACH \) và \( \triangle AMB \): - \( \angle CAH = \angle BAM \) (góc giữa tia \( AC \) và \( AB \)). - \( \angle AHC = \angle AMB = 90^\circ \). Vậy \( \triangle ACH \sim \triangle AMB \) (cùng có góc chung và góc vuông). Từ đó ta có: \[ \frac{AI}{AM} = \frac{AH}{AB} \] Vì \( I \) là trung điểm của \( CH \), nên \( AH = HB \). Do đó: \[ \frac{AI}{AM} = \frac{AH}{AB} = \frac{1}{2} \] Vậy \( A, I, M \) thẳng hàng. Đáp số: \( MB = MC \), \( AB^2 = AC \cdot AD \), \( M \) là trung điểm của \( BD \), ba điểm \( A, I, M \) thẳng hàng.