Giúp mình với!

Bài 1: a) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3})$ Để tính giới hạn này, ta nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x+1)-(x-3)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}} \] Khi $x \to +\infty$, $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-3} \to +\infty$, do đó: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}} = 0 \] b) $\lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+5}-x)$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+5}-x) = \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{(\sqrt{x^2+5}-x)(\sqrt{x^2+5}+x)}{\sqrt{x^2+5}+x}\right) = \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{x^2+5-x^2}{\sqrt{x^2+5}+x}\right) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5x}{\sqrt{x^2+5}+x} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5x}{\sqrt{x^2+5}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{5}{\sqrt{1+\frac{5}{x^2}}+1} = \frac{5}{1+1} = \frac{5}{2} \] c) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(x-\sqrt{x^2+5x})$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(x-\sqrt{x^2+5x}) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x-\sqrt{x^2+5x})(x+\sqrt{x^2+5x})}{x+\sqrt{x^2+5x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2-(x^2+5x)}{x+\sqrt{x^2+5x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5x}{x+\sqrt{x^2+5x}} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5x}{x+\sqrt{x^2+5x}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5}{1+\sqrt{1+\frac{5}{x}}} = \frac{-5}{1+1} = -\frac{5}{2} \] d) $\lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x+1}-1\right)$ \[ \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}\left(\frac{1}{x+1}-1\right) = \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}\left(\frac{1-(x+1)}{x+1}\right) = \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}\left(\frac{-x}{x+1}\right) = \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{-1}{x+1} = -1 \] e) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\sqrt{x^2+5}$ Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}\sqrt{x^2+5} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^2+5}}{x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{1+\frac{5}{x^2}} = \sqrt{1+0} = 1 \] f) $\lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+2}-x)$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}x(\sqrt{x^2+2}-x) = \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{(\sqrt{x^2+2}-x)(\sqrt{x^2+2}+x)}{\sqrt{x^2+2}+x}\right) = \lim_{x\rightarrow+\infty}x\left(\frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x}\right) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+2}+x} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+2}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+1} = \frac{2}{1+1} = 1 \] g) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x+1}}{x}$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x+1}}{x} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x^2+x+1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1})}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1})} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(x+1)-(x^2+x+1)}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1})} \] \[ = \lim_{x\rightarrow0}\frac{-x^2}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1})} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2+x+1}} = \frac{0}{1+1} = 0 \] h) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7})$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7}) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-7})(\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7})}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x+5)-(x-7)}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{12}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}} \] Khi $x \to +\infty$, $\sqrt{x+5} + \sqrt{x-7} \to +\infty$, do đó: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{12}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x-7}} = 0 \] i) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2-5x}-x)$ Nhân lượng liên hợp: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}(\sqrt{x^2-5x}-x) = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(\sqrt{x^2-5x}-x)(\sqrt{x^2-5x}+x)}{\sqrt{x^2-5x}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x^2-5x)-x^2}{\sqrt{x^2-5x}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5x}{\sqrt{x^2-5x}+x} \] Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5x}{\sqrt{x^2-5x}+x} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-5}{\sqrt{1-\frac{5}{x}}+1} = \frac{-5}{1+1} = -\frac{5}{2} \] j) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x}\sqrt{x^2+5}$ Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x}\sqrt{x^2+5} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{x^2+5}}{x} = \lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{1+\frac{5}{x^2}} = \sqrt{1+0} = 1 \] Đáp số: a) 0 b) $\frac{5}{2}$ c) $-\frac{5}{2}$ d) -1 e) 1 f) 1 g) 0 h) 0 i) $-\frac{5}{2}$ j) 1 Câu 1: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}(3x^2 + 7x + 11)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay giá trị $x = 2$ vào biểu thức $3x^2 + 7x + 11$. \[ 3(2)^2 + 7(2) + 11 \] Bước 2: Tính toán từng phần của biểu thức. \[ 3(2)^2 = 3 \times 4 = 12 \] \[ 7(2) = 7 \times 2 = 14 \] Bước 3: Cộng tất cả các thành phần lại với nhau. \[ 12 + 14 + 11 = 37 \] Vậy giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}(3x^2 + 7x + 11)$ là 37. Đáp án đúng là: A. 37 Câu 2: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow\sqrt3}|x^2-4|$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính giá trị của biểu thức \(x^2 - 4\) khi \(x \rightarrow \sqrt{3}\): \[ x^2 - 4 = (\sqrt{3})^2 - 4 = 3 - 4 = -1 \] 2. Áp dụng giá trị tuyệt đối: \[ |x^2 - 4| = |-1| = 1 \] Do đó, giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow\sqrt3}|x^2-4|$ là 1. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 3: Để tính giá trị của giới hạn $\lim_{x\rightarrow0}x^2\sin\frac{1}{x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giới hạn của mỗi thành phần: - Ta biết rằng $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ là hàm số bị chặn, nghĩa là $-1 \leq \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$. - Khi $x \to 0$, ta có $x^2 \to 0$. 2. Áp dụng quy tắc giới hạn của tích: - Khi một hàm số bị chặn nhân với một hàm số tiến đến 0 thì tích của chúng cũng tiến đến 0. - Do đó, $\lim_{x\rightarrow0}x^2\sin\frac{1}{x} = 0$. Vậy giá trị của giới hạn là: \[ \lim_{x\rightarrow0}x^2\sin\frac{1}{x} = 0 \] Đáp án đúng là: D. 0.