Giúp em với

Câu 1. a) Giá trị đại diện của nhóm $[30;40)$ là: \[ \frac{30 + 40}{2} = 35 \] b) Số trung bình là: \[ \text{Số trung bình} = \frac{\sum (giá trị đại diện \times tần số)}{\sum tần số} \] Tính tổng giá trị đại diện nhân với tần số: \[ (25 \times 3) + (35 \times 9) + (45 \times 12) + (55 \times 10) + (65 \times 6) \] \[ = 75 + 315 + 540 + 550 + 390 = 1870 \] Tổng tần số: \[ 3 + 9 + 12 + 10 + 6 = 40 \] Số trung bình: \[ \frac{1870}{40} = 46.75 \] c) Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Nhóm $[40;50)$ có tần số lớn nhất là 12, nên mốt là: \[ 45 \] d) Khoảng tứ phân vị là khoảng giữa Q1 và Q3. Ta tính Q1 và Q3 như sau: - Tổng số dữ liệu là 40, do đó Q1 nằm ở vị trí $\frac{40}{4} = 10$ và Q3 nằm ở vị trí $\frac{3 \times 40}{4} = 30$. Q1 nằm trong nhóm $[30;40)$ vì từ 1 đến 12 có 12 giá trị, bao gồm cả nhóm $[20;30)$ (3 giá trị) và nhóm $[30;40)$ (9 giá trị). Do đó: \[ Q1 = 30 + \left(\frac{10 - 3}{9}\right) \times 10 = 30 + \frac{70}{9} = 37.78 \] Q3 nằm trong nhóm $[50;60)$ vì từ 1 đến 30 có 30 giá trị, bao gồm nhóm $[20;30)$ (3 giá trị), nhóm $[30;40)$ (9 giá trị), nhóm $[40;50)$ (12 giá trị), và nhóm $[50;60)$ (10 giá trị). Do đó: \[ Q3 = 50 + \left(\frac{30 - 24}{10}\right) \times 10 = 50 + \frac{60}{10} = 56 \] Khoảng tứ phân vị là: \[ Q3 - Q1 = 56 - 37.78 = 18.22 \] Đáp số: a) Giá trị đại diện của nhóm $[30;40)$ là 35. b) Số trung bình là 46.75. c) Mốt là 45. d) Khoảng tứ phân vị là 18.22. Câu 2. Ta có: $u_3 + u_4 + u_5 = 3u_4 = -3$ Suy ra: $u_4 = -1$ Mặt khác: $3u_5 - 2u_7 = 5$ Hay: $3(u_4 + d) - 2(u_4 + 3d) = 5$ Suy ra: $d = -4$ Từ đây suy ra: $u_1 = 11$ Số hạng thứ 10 là: $u_{10} = u_1 + 9d = -25$ Tổng 20 số hạng đầu tiên là: $S_{20} = \frac{20}{2}(u_1 + u_{20}) = -580$ Câu 3. Giá trị của ô tô sau mỗi năm giảm đi 8%, tức là mỗi năm giá trị của ô tô còn lại 92% so với năm trước đó. Sau một năm, giá trị của ô tô là: \[ 600 \times 0.92 = 552 \text{ triệu đồng} \] Sau hai năm, giá trị của ô tô là: \[ 552 \times 0.92 = 507.84 \text{ triệu đồng} \] Sau ba năm, giá trị của ô tô là: \[ 507.84 \times 0.92 = 467.1808 \text{ triệu đồng} \] Sau bốn năm, giá trị của ô tô là: \[ 467.1808 \times 0.92 = 429.702016 \text{ triệu đồng} \] Làm tròn đến hàng triệu, giá trị của ô tô sau bốn năm là 430 triệu đồng. Cô Ngọc muốn mua một chiếc ô tô mới giá 800 triệu đồng, nên số tiền cô phải bù thêm là: \[ 800 - 430 = 370 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 370 triệu đồng. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số hạng đầu tiên \( u_1 \) và công bội \( q \) của cấp số nhân. 2. Kiểm tra các đáp án đã cho để xác định đúng sai. Bước 1: Xác định \( u_1 \) và \( q \) Ta có: \[ u_1 + u_5 = 51 \] \[ u_2 + u_6 = 102 \] Biểu diễn các số hạng theo công bội \( q \): \[ u_5 = u_1 \cdot q^4 \] \[ u_2 = u_1 \cdot q \] \[ u_6 = u_1 \cdot q^5 \] Thay vào các phương trình: \[ u_1 + u_1 \cdot q^4 = 51 \] \[ u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^5 = 102 \] Chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất: \[ \frac{u_1 \cdot q + u_1 \cdot q^5}{u_1 + u_1 \cdot q^4} = \frac{102}{51} \] \[ \frac{q(1 + q^4)}{1 + q^4} = 2 \] \[ q = 2 \] Thay \( q = 2 \) vào phương trình đầu tiên: \[ u_1 + u_1 \cdot 2^4 = 51 \] \[ u_1 + 16u_1 = 51 \] \[ 17u_1 = 51 \] \[ u_1 = 3 \] Bước 2: Kiểm tra các đáp án a) Số hạng đầu \( u_1 = 3 \). Đúng. b) Số hạng \( u_4 \): \[ u_4 = u_1 \cdot q^3 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 \]. Sai. c) Số 12288 là số hạng thứ 12 của cấp số nhân: \[ u_{12} = u_1 \cdot q^{11} = 3 \cdot 2^{11} = 3 \cdot 2048 = 6144 \]. Sai. d) Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân: \[ S_8 = u_1 \cdot \frac{q^8 - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{2^8 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{256 - 1}{1} = 3 \cdot 255 = 765 \]. Đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng Đáp án: a) Đúng, d) Đúng. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều. Bước 1: Xác định số ghế trong dãy đầu tiên Dãy ghế cuối cùng có 45 ghế và mỗi dãy kế tiếp nhiều hơn dãy trước đó 4 ghế. Ta có thể suy ra số ghế trong dãy đầu tiên bằng cách tính ngược lại: Số ghế trong dãy thứ 10 là 45 ghế. Số ghế trong dãy thứ 9 là 45 - 4 = 41 ghế. Số ghế trong dãy thứ 8 là 41 - 4 = 37 ghế. ... Số ghế trong dãy thứ 1 là 45 - 4 × (10 - 1) = 45 - 4 × 9 = 45 - 36 = 9 ghế. Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều Công thức tính tổng của dãy số cách đều là: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Trong đó: - \( n \) là số lượng các số hạng trong dãy (ở đây là 10 dãy ghế). - \( a_1 \) là số ghế trong dãy đầu tiên (ở đây là 9 ghế). - \( a_n \) là số ghế trong dãy cuối cùng (ở đây là 45 ghế). Áp dụng công thức: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \times (9 + 45) = 5 \times 54 = 270 \] Vậy, hội trường có tất cả 270 ghế. Đáp số: 270 ghế. Câu 6. Để tìm năm số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ với công thức $u_n = \frac{-n}{n+1}$, chúng ta sẽ thay các giá trị của $n$ từ 1 đến 5 vào công thức này. - Khi $n = 1$: \[ u_1 = \frac{-1}{1+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \] - Khi $n = 2$: \[ u_2 = \frac{-2}{2+1} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} \] - Khi $n = 3$: \[ u_3 = \frac{-3}{3+1} = \frac{-3}{4} = -\frac{3}{4} \] - Khi $n = 4$: \[ u_4 = \frac{-4}{4+1} = \frac{-4}{5} = -\frac{4}{5} \] - Khi $n = 5$: \[ u_5 = \frac{-5}{5+1} = \frac{-5}{6} = -\frac{5}{6} \] Như vậy, năm số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ là: \[ -\frac{1}{2}, -\frac{2}{3}, -\frac{3}{4}, -\frac{4}{5}, -\frac{5}{6} \] Do đó, đáp án đúng là: D. $-\frac{1}{2}; -\frac{2}{3}; -\frac{3}{4}; -\frac{4}{5}; -\frac{5}{6}$. Câu 7. Để tìm công sai của cấp số cộng $(u_n)$ với $u_n = 5 - 2n$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hai số hạng liên tiếp của dãy số. - Số hạng thứ n là $u_n = 5 - 2n$. - Số hạng thứ n+1 là $u_{n+1} = 5 - 2(n+1) = 5 - 2n - 2 = 3 - 2n$. Bước 2: Tính công sai $d$ bằng cách lấy số hạng thứ n+1 trừ đi số hạng thứ n. \[ d = u_{n+1} - u_n \] \[ d = (3 - 2n) - (5 - 2n) \] \[ d = 3 - 2n - 5 + 2n \] \[ d = 3 - 5 \] \[ d = -2 \] Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là $d = -2$. Đáp án đúng là: B. $d = -2$. Câu 8. Trước tiên, ta cần biết rằng cứ 20 phút vi khuẩn phân đôi một lần. Vậy trong 2 giờ (120 phút), số lần vi khuẩn phân đôi là: \[ \frac{120}{20} = 6 \text{ lần} \] Ban đầu có 30 vi khuẩn. Mỗi lần phân đôi, số lượng vi khuẩn sẽ tăng gấp đôi. Ta tính số lượng vi khuẩn sau mỗi lần phân đôi như sau: Sau lần thứ 1: \[ 30 \times 2 = 60 \] Sau lần thứ 2: \[ 60 \times 2 = 120 \] Sau lần thứ 3: \[ 120 \times 2 = 240 \] Sau lần thứ 4: \[ 240 \times 2 = 480 \] Sau lần thứ 5: \[ 480 \times 2 = 960 \] Sau lần thứ 6: \[ 960 \times 2 = 1920 \] Vậy sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn trong ống nghiệm là 1920 vi khuẩn. Đáp số: 1920 vi khuẩn. Câu 9. Để ba số \(3 + x\), \(13 + x\), \(43 + x\) lập thành một cấp số nhân, ta cần có: \[ (13 + x)^2 = (3 + x)(43 + x) \] Bước 1: Mở rộng hai vế của phương trình. \[ (13 + x)^2 = 169 + 26x + x^2 \] \[ (3 + x)(43 + x) = 129 + 3x + 43x + x^2 = 129 + 46x + x^2 \] Bước 2: Đặt hai biểu thức này bằng nhau. \[ 169 + 26x + x^2 = 129 + 46x + x^2 \] Bước 3: Bỏ \(x^2\) ở cả hai vế. \[ 169 + 26x = 129 + 46x \] Bước 4: Chuyển các hạng tử liên quan đến \(x\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại. \[ 169 - 129 = 46x - 26x \] \[ 40 = 20x \] Bước 5: Giải phương trình để tìm \(x\). \[ x = \frac{40}{20} = 2 \] Vậy, giá trị của \(x\) để ba số \(3 + x\), \(13 + x\), \(43 + x\) lập thành một cấp số nhân là \(x = 2\). Đáp số: \(x = 2\) Câu 10. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều. Bước 1: Xác định số ghế trong dãy đầu tiên Dãy cuối cùng có 90 ghế và mỗi dãy kế tiếp nhiều hơn dãy trước đó 8 ghế. Vậy dãy thứ 10 có 90 ghế. Số ghế trong dãy đầu tiên là: \[ a_1 = 90 - 8 \times (10 - 1) = 90 - 8 \times 9 = 90 - 72 = 18 \] Bước 2: Áp dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều Công thức tính tổng của dãy số cách đều là: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Trong đó: - \( n \) là số lượng các số hạng trong dãy. - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên. - \( a_n \) là số hạng cuối cùng. Áp dụng vào bài toán: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \times (18 + 90) = 5 \times 108 = 540 \] Vậy, hội trường có tất cả 540 ghế. Đáp số: 540 ghế.