gghehebeuedhwld

Câu 1: Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD. Có bao nhiêu véctơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện. A. 1. B. 2 C. 3. D. 4. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: - Tứ diện ABCD có 4 đỉnh: A, B, C, D. - Điểm đầu của véctơ là A, điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại: B, C, D. Do đó, các véctơ có thể hình thành từ điểm đầu A đến các đỉnh còn lại là: 1. Véctơ AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B) 2. Véctơ AC (điểm đầu là A, điểm cuối là C) 3. Véctơ AD (điểm đầu là A, điểm cuối là D) Như vậy, có tổng cộng 3 véctơ. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 2: Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các đỉnh và các mặt phẳng được xác định như sau: - Mặt phẳng (ABCD) là đáy của hình lập phương. - Các véc tơ nằm trong mặt phẳng (ABCD) sẽ có các điểm đầu và điểm cuối đều nằm trên mặt phẳng này. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. $\overrightarrow{DD'}, \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{DD'}$: Điểm D nằm trên mặt phẳng (ABCD), nhưng điểm D' nằm ở phía trên, không thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, $\overrightarrow{DD'}$ không nằm trong mặt phẳng (ABCD). - $\overrightarrow{AC'}$: Điểm A nằm trên mặt phẳng (ABCD), nhưng điểm C' nằm ở phía trên, không thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, $\overrightarrow{AC'}$ không nằm trong mặt phẳng (ABCD). B. $\overrightarrow{AD'}, \overrightarrow{AD'}$ - $\overrightarrow{AD'}$: Điểm A nằm trên mặt phẳng (ABCD), nhưng điểm D' nằm ở phía trên, không thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, $\overrightarrow{AD'}$ không nằm trong mặt phẳng (ABCD). C. $\overrightarrow{AD'}, \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AD'}$: Điểm A nằm trên mặt phẳng (ABCD), nhưng điểm D' nằm ở phía trên, không thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, $\overrightarrow{AD'}$ không nằm trong mặt phẳng (ABCD). - $\overrightarrow{AC'}$: Điểm A nằm trên mặt phẳng (ABCD), nhưng điểm C' nằm ở phía trên, không thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, $\overrightarrow{AC'}$ không nằm trong mặt phẳng (ABCD). D. $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{ACD}$ - $\overrightarrow{AC}$: Điểm A và điểm C đều nằm trên mặt phẳng (ABCD). Do đó, $\overrightarrow{AC}$ nằm trong mặt phẳng (ABCD). - $\overrightarrow{ACD}$: Điểm A và điểm C đều nằm trên mặt phẳng (ABCD), nhưng điểm D nằm ở phía bên trái, không thuộc mặt phẳng (ABCD). Do đó, $\overrightarrow{ACD}$ không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Từ các phân tích trên, ta thấy chỉ có $\overrightarrow{AC}$ nằm trong mặt phẳng (ABCD). Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{ACD}$ (trong đó chỉ có $\overrightarrow{AC}$ nằm trong mặt phẳng (ABCD)). Câu 3: Trước tiên, ta cần xác định độ dài của các véc tơ trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a. - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{DD'}$ là a vì nó là đường thẳng đứng từ đỉnh D lên đỉnh D'. - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{AC}$ là $\sqrt{2}a$ vì nó là đường chéo của mặt đáy hình lập phương. - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{AD'}$ là $\sqrt{3}a$ vì nó là đường chéo của hình lập phương. - Độ dài của véc tơ $\overrightarrow{AD}$ là a vì nó là cạnh của hình lập phương. Bây giờ, ta so sánh các độ dài này: - $\overrightarrow{DD'}$ có độ dài là a. - $\overrightarrow{AC}$ có độ dài là $\sqrt{2}a$. - $\overrightarrow{AD'}$ có độ dài là $\sqrt{3}a$. - $\overrightarrow{AD}$ có độ dài là a. Như vậy, hai véc tơ có cùng độ dài là $\overrightarrow{DD'}$ và $\overrightarrow{AD}$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ Câu 4: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Ta sẽ kiểm tra từng véc tơ để xem véc tơ nào bằng véc tơ $\overrightarrow{DC}$. A. $\overrightarrow{DD'}$: Véc tơ này đi từ đỉnh D lên đỉnh D', tức là đi thẳng đứng lên trên. Vì vậy, nó không thể bằng $\overrightarrow{DC}$ vì $\overrightarrow{DC}$ nằm trong mặt phẳng đáy ABCD. B. $\overrightarrow{AD}$: Véc tơ này đi từ đỉnh A đến đỉnh D. Vì A và D là hai đỉnh kề nhau trên cùng một mặt phẳng đáy ABCD, nhưng chúng không cùng hướng với $\overrightarrow{DC}$. Do đó, $\overrightarrow{AD}$ không bằng $\overrightarrow{DC}$. C. $\overrightarrow{AB}$: Véc tơ này đi từ đỉnh A đến đỉnh B. Vì A và B là hai đỉnh kề nhau trên cùng một mặt phẳng đáy ABCD, nhưng chúng không cùng hướng với $\overrightarrow{DC}$. Do đó, $\overrightarrow{AB}$ không bằng $\overrightarrow{DC}$. D. $\overrightarrow{CD}$: Véc tơ này đi từ đỉnh C đến đỉnh D. Vì C và D là hai đỉnh kề nhau trên cùng một mặt phẳng đáy ABCD và cùng hướng với $\overrightarrow{DC}$. Do đó, $\overrightarrow{CD}$ bằng $\overrightarrow{DC}$. Vậy véc tơ bằng véc tơ $\overrightarrow{DC}$ là $\overrightarrow{CD}$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{CD}$. Câu 5: Để tìm tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B từ tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là $(1, -1, 2)$. Tọa độ của điểm B là $(2, 1, -4)$. Tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 1 - (-1), -4 - 2) = (1, 2, -6) \] Vậy tọa độ của véctơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1, 2, -6)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(1, 2, -6)$. Đáp số: A. $(1, 2, -6)$. Câu 6: Trong không gian Oxyz, biểu diễn của vectơ $\overrightarrow{a}$ qua các vectơ đơn vị là $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j}$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ sẽ là $(2, -3, 1)$ vì: - Hệ số của $\overrightarrow{i}$ là 2, tương ứng với tọa độ x. - Hệ số của $\overrightarrow{j}$ là -3, tương ứng với tọa độ y. - Hệ số của $\overrightarrow{k}$ là 1, tương ứng với tọa độ z. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là $(2, -3, 1)$. Đáp án đúng là: A. $(2, -3, 1)$. Câu 7: Để tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD, ta sử dụng tính chất của hình bình hành: hai vectơ đối diện bằng nhau. Tọa độ của các đỉnh: - A(3, 1, 2) - B(1, 0, 1) - C(2, 3, 0) Ta cần tìm tọa độ của đỉnh D, giả sử là D(x, y, z). Theo tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 3, 0 - 1, 1 - 2) = (-2, -1, -1) \] Tính vectơ \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (2 - x, 3 - y, 0 - z) = (2 - x, 3 - y, -z) \] Do \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), ta có: \[ (-2, -1, -1) = (2 - x, 3 - y, -z) \] So sánh từng thành phần: 1. \(-2 = 2 - x\) \[ x = 2 + 2 = 4 \] 2. \(-1 = 3 - y\) \[ y = 3 + 1 = 4 \] 3. \(-1 = -z\) \[ z = 1 \] Vậy tọa độ của đỉnh D là (4, 4, 1). Đáp án đúng là: C. D(4, 4, 1). Câu 8: Để tìm tọa độ điểm B sao cho \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của \(\overrightarrow{AB}\): - Ta biết rằng \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\). - Tọa độ của \(\overrightarrow{a}\) là \((-3; 2; 1)\). 2. Tìm tọa độ của điểm B: - Gọi tọa độ của điểm B là \((x; y; z)\). - Tọa độ của \(\overrightarrow{AB}\) là \((x - 4; y - 6; z + 3)\). - Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\), ta có: \[ (x - 4; y - 6; z + 3) = (-3; 2; 1) \] 3. Xác định tọa độ của điểm B: - Từ phương trình trên, ta có: \[ x - 4 = -3 \implies x = -3 + 4 = 1 \] \[ y - 6 = 2 \implies y = 2 + 6 = 8 \] \[ z + 3 = 1 \implies z = 1 - 3 = -2 \] Vậy tọa độ của điểm B là \((1; 8; -2)\). Do đó, đáp án đúng là: C. \((1; 8; -2)\). Câu 9. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{i}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1; 2; 3) + (-2; 0; 1) = (1 - 2; 2 + 0; 3 + 1) = (-1; 2; 4) \] Bước 2: Tính $2\overrightarrow{c}$: \[ 2\overrightarrow{c} = 2(-1; 0; 1) = (-2; 0; 2) \] Bước 3: Tính $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c}$: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} = (-1; 2; 4) + (-2; 0; 2) = (-1 - 2; 2 + 0; 4 + 2) = (-3; 2; 6) \] Bước 4: Tính $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{i}$: \[ \overrightarrow{n} = (-3; 2; 6) - 3(1; 0; 0) = (-3; 2; 6) - (3; 0; 0) = (-3 - 3; 2 - 0; 6 - 0) = (-6; 2; 6) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ là $(-6; 2; 6)$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{n} = (-6; 2; 6)$. Câu 10. Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì vectơ AB và vectơ AC phải cùng phương. Ta tính vectơ AB và vectơ AC: \[ \overrightarrow{AB} = (7-3, x-5, 1+1) = (4, x-5, 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = (9-3, 2-5, y+1) = (6, -3, y+1) \] Để hai vectơ này cùng phương, ta có: \[ \frac{4}{6} = \frac{x-5}{-3} = \frac{2}{y+1} \] Từ \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), ta có: \[ \frac{x-5}{-3} = \frac{2}{3} \Rightarrow x-5 = -2 \Rightarrow x = 3 \] Từ \(\frac{2}{3} = \frac{2}{y+1}\), ta có: \[ y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2 \] Vậy \( x + y = 3 + 2 = 5 \). Đáp án đúng là: A. 5. Câu 11. Điểm M thuộc trục Ox nên tọa độ của M có dạng $(x;0;0)$. Để M cách đều hai điểm A và B, ta có: \[ MA = MB \] Tính khoảng cách MA và MB: \[ MA = \sqrt{(x - 4)^2 + (0 - 2)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + 4 + 1} = \sqrt{(x - 4)^2 + 5} \] \[ MB = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1} \] Bằng nhau: \[ \sqrt{(x - 4)^2 + 5} = \sqrt{(x - 2)^2 + 1} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (x - 4)^2 + 5 = (x - 2)^2 + 1 \] Mở ngoặc và giản ước: \[ x^2 - 8x + 16 + 5 = x^2 - 4x + 4 + 1 \] \[ x^2 - 8x + 21 = x^2 - 4x + 5 \] Chuyển các hạng tử về cùng một vế: \[ -8x + 21 = -4x + 5 \] \[ -8x + 4x = 5 - 21 \] \[ -4x = -16 \] \[ x = 4 \] Vậy tọa độ của điểm M là $(4;0;0)$. Đáp án đúng là: C. M(4;0;0). Câu 12. Để tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác trong không gian. Công thức này cho biết tọa độ của trọng tâm G là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh của tam giác. Cụ thể, nếu A$(x_1; y_1; z_1)$, B$(x_2; y_2; z_2)$ và C$(x_3; y_3; z_3)$ là tọa độ của ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ của trọng tâm G sẽ là: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}; \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right) \] Áp dụng vào bài toán, ta có: - A$(1; 3; 4)$ - B$(1; 0; -2)$ - C$(4; 0; 1)$ Tọa độ của trọng tâm G là: \[ G\left(\frac{1 + 1 + 4}{3}; \frac{3 + 0 + 0}{3}; \frac{4 + (-2) + 1}{3}\right) \] \[ G\left(\frac{6}{3}; \frac{3}{3}; \frac{3}{3}\right) \] \[ G(2; 1; 1) \] Vậy tọa độ của trọng tâm G là $(2; 1; 1)$. Do đó, đáp án đúng là: B. G$(2; 1; 1)$. Câu 1. A) Ta thấy $\overrightarrow a+\overrightarrow b=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\neq \overrightarrow{AC'}=\overrightarrow c$. Vậy mệnh đề này sai. B) Ta có $|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=|\overrightarrow{AC}|=10\sqrt2\neq 20$. Vậy mệnh đề này sai. C) Ta có $|\overrightarrow a+\overrightarrow c|=|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC'}|=|\overrightarrow{DC'}|$ và $|\overrightarrow b+\overrightarrow c|=|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC'}|=|\overrightarrow{BC'}|$. Vì $|\overrightarrow{DC'}|=|\overrightarrow{BC'}|$ nên $|\overrightarrow a+\overrightarrow c|=|\overrightarrow b+\overrightarrow c|$. Vậy mệnh đề này đúng. D) Ta có $|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c|=|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC'}|=|\overrightarrow{CC'}|=10\sqrt3\neq 32,59$. Vậy mệnh đề này sai. Câu 2. Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ thực hiện các công việc sau: 1. Tìm vectơ AB và AC: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2; 2 - 3; 0 - 1) = (-3; -1; -1)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 2; 1 - 3; -2 - 1) = (-1; -2; -3)$ 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC: - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng ABC có thể tìm bằng cách tính tích vector của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \] Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & -1 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-3) - (-1)(-2)) - \mathbf{j}((-3)(-3) - (-1)(-1)) + \mathbf{k}((-3)(-2) - (-1)(-1)) \] \[ = \mathbf{i}(3 - 2) - \mathbf{j}(9 - 1) + \mathbf{k}(6 - 1) \] \[ = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(8) + \mathbf{k}(5) \] \[ = (1; -8; 5) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng ABC: - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng. - Ta đã tìm được vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, -8, 5)$ và biết điểm $A(2, 3, 1)$ nằm trên mặt phẳng. - Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 1(x - 2) - 8(y - 3) + 5(z - 1) = 0 \] \[ x - 2 - 8y + 24 + 5z - 5 = 0 \] \[ x - 8y + 5z + 17 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng ABC là: \[ x - 8y + 5z + 17 = 0 \]