giuppppdiii

Câu 4: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = MA^2 + MB^2 + 2MC^2 \) với điểm \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \( M \): Vì \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \), tọa độ của \( M \) có dạng \( M(x; y; 0) \). 2. Tính khoảng cách từ \( M \) đến các điểm \( A \), \( B \), và \( C \): - \( MA^2 = (x - 1)^2 + y^2 + 0^2 = (x - 1)^2 + y^2 \) - \( MB^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 4^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 16 \) - \( MC^2 = x^2 + (y - 5)^2 + 4^2 = x^2 + (y - 5)^2 + 16 \) 3. Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = MA^2 + MB^2 + 2MC^2 = [(x - 1)^2 + y^2] + [(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 16] + 2[x^2 + (y - 5)^2 + 16] \] 4. Rút gọn biểu thức \( P \): \[ P = (x - 1)^2 + y^2 + (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + 16 + 2x^2 + 2(y - 5)^2 + 32 \] \[ = x^2 - 2x + 1 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 + 16 + 2x^2 + 2(y^2 - 10y + 25) + 32 \] \[ = x^2 - 2x + 1 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 + 16 + 2x^2 + 2y^2 - 20y + 50 + 32 \] \[ = 4x^2 + 4y^2 - 8x - 24y + 112 \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): Ta viết lại \( P \) dưới dạng tổng bình phương: \[ P = 4(x^2 - 2x) + 4(y^2 - 6y) + 112 \] \[ = 4[(x - 1)^2 - 1] + 4[(y - 3)^2 - 9] + 112 \] \[ = 4(x - 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 4 - 36 + 112 \] \[ = 4(x - 1)^2 + 4(y - 3)^2 + 72 \] Biểu thức \( 4(x - 1)^2 + 4(y - 3)^2 \) luôn không âm và đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x = 1 \) và \( y = 3 \). 6. Giá trị nhỏ nhất của \( P \): \[ P_{min} = 72 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( 72 \), đạt được khi \( M(1; 3; 0) \). Câu 5: Để tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\): \[ d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Áp dụng công thức này để tính khoảng cách giữa các cặp drone: 1. Khoảng cách giữa \(A\) và \(B\): \[ d_1 = d(A, B) = \sqrt{(5 - 1)^2 + (7 - 1)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116} \approx 10.8 \] 2. Khoảng cách giữa \(B\) và \(C\): \[ d_2 = d(B, C) = \sqrt{(9 - 5)^2 + (11 - 7)^2 + (4 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 16 + 25} = \sqrt{57} \approx 7.6 \] 3. Khoảng cách giữa \(C\) và \(A\): \[ d_3 = d(C, A) = \sqrt{(9 - 1)^2 + (11 - 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 10^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 100 + 9} = \sqrt{173} \approx 13.2 \] Tổng khoảng cách: \[ d_1 + d_2 + d_3 \approx 10.8 + 7.6 + 13.2 = 31.6 \] Vậy, tổng khoảng cách giữa các cặp drone là \(31.6\) (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Đáp số: \(31.6\) Câu 6: Trước tiên, ta xác định tọa độ của con chim bói cá và con cá dựa vào thông tin đã cho. - Con chim bói cá cách mặt nước 2 m, cách mặt phẳng (Oxz) là 3 m và cách mặt phẳng (Oyz) là 1 m. Do đó, tọa độ của con chim bói cá là \( A(3; 1; 2) \). - Con cá cách mặt nước 50 cm (tức là 0,5 m), cách mặt phẳng (Oxz) là 1 m và cách mặt phẳng (Oyz) là 1,5 m. Do đó, tọa độ của con cá là \( C(1; 1,5; -0,5) \). Tiếp theo, ta xác định tọa độ điểm \( B(a; b; c) \) khi con chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước. Khi con chim bói cá tiếp xúc với mặt nước, tọa độ z của nó sẽ là 0 (vì mặt nước nằm trên mặt phẳng \( z = 0 \)). Do đó, tọa độ điểm \( B \) là \( B(a; b; 0) \). Ta cần tìm các giá trị \( a \) và \( b \). Ta thấy rằng đường thẳng từ \( A \) đến \( C \) sẽ đi qua điểm \( B \). Ta viết phương trình tham số của đường thẳng này: \[ \begin{cases} x = 3 + t(1 - 3) \\ y = 1 + t(1,5 - 1) \\ z = 2 + t(-0,5 - 2) \end{cases} \] Simplifying the equations: \[ \begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = 1 + 0,5t \\ z = 2 - 2,5t \end{cases} \] Khi con chim bói cá tiếp xúc với mặt nước, \( z = 0 \): \[ 2 - 2,5t = 0 \Rightarrow t = \frac{2}{2,5} = 0,8 \] Thay \( t = 0,8 \) vào phương trình tham số để tìm \( a \) và \( b \): \[ \begin{cases} a = 3 - 2 \cdot 0,8 = 3 - 1,6 = 1,4 \\ b = 1 + 0,5 \cdot 0,8 = 1 + 0,4 = 1,4 \end{cases} \] Vậy tọa độ điểm \( B \) là \( B(1,4; 1,4; 0) \). Đáp số: \( B(1,4; 1,4; 0) \).