đùhhfhvuvvivi

Để hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + (m+1)x^2 + 2(m+1)x - 2021 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần tìm điều kiện của \(m\) sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương trên \(\mathbb{R}\). Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{1}{3}x^3 + (m+1)x^2 + 2(m+1)x - 2021 \right)' \] \[ y' = x^2 + 2(m+1)x + 2(m+1) \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), đạo hàm \(y'\) phải luôn dương: \[ x^2 + 2(m+1)x + 2(m+1) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Bước 3: Điều kiện để một tam thức bậc hai \(ax^2 + bx + c\) luôn dương là: \[ a > 0 \quad \text{và} \quad \Delta < 0 \] Trong đó: \[ a = 1 \] \[ b = 2(m+1) \] \[ c = 2(m+1) \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện \(a > 0\): \[ a = 1 > 0 \] Bước 5: Tính \(\Delta\) của tam thức: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = [2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2(m+1) \] \[ \Delta = 4(m+1)^2 - 8(m+1) \] \[ \Delta = 4[(m+1)^2 - 2(m+1)] \] \[ \Delta = 4[m^2 + 2m + 1 - 2m - 2] \] \[ \Delta = 4[m^2 - 1] \] \[ \Delta = 4(m^2 - 1) \] Bước 6: Điều kiện để \(\Delta < 0\): \[ 4(m^2 - 1) < 0 \] \[ m^2 - 1 < 0 \] \[ (m - 1)(m + 1) < 0 \] Bước 7: Giải bất phương trình: \[ -1 < m < 1 \] Bước 8: Tìm các giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng \((-1, 1)\): \[ m = 0 \] Vậy, có 1 giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Đáp án đúng là: C. 1.