Giaiir giup em

Câu 7: Ta sẽ sử dụng công thức tính bình phương của tổng hai véc-tơ để giải quyết bài toán này. Xét biểu thức: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \] Tính bình phương của véc-tơ $\overrightarrow{BC}$: \[ |\overrightarrow{BC}|^2 = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \] Áp dụng công thức bình phương của tổng hai véc-tơ: \[ |\overrightarrow{BC}|^2 = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} - 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} \] Viết lại dưới dạng: \[ BC^2 = AC^2 - 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + AB^2 \] Rearrange the equation to isolate the dot product term: \[ 2 \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = AB^2 + AC^2 - BC^2 \] Do đó, đẳng thức đúng là: \[ 2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB^2 + AC^2 - BC^2 \] Vậy đáp án đúng là: A. $2 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB^2 + AC^2 - BC^2$ Câu 8: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $2\overrightarrow{a}$: \[ 2\overrightarrow{a} = 2(1; 2; 1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 2; 2 \cdot 1) = (2; 4; 2) \] Bước 2: Cộng tọa độ của $2\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (2; 4; 2) + (-1; 3; 0) = (2 - 1; 4 + 3; 2 + 0) = (1; 7; 2) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là $(1; 7; 2)$. Do đó, đáp án đúng là: A. $(1; 7; 2)$. Câu 9: Để tìm tọa độ điểm \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \) sao cho ba điểm \( A \), \( B \), và \( M \) thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện thẳng hàng: Ba điểm \( A \), \( B \), và \( M \) thẳng hàng nếu và chỉ nếu vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AM} \) cùng phương. 2. Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 2, 1 + 2, 2 - 1) = (-2, 3, 1) \] 3. Giả sử tọa độ của điểm \( M \) là \( (x, y, 0) \) vì \( M \) thuộc mặt phẳng \( (Oxy) \). \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x - 2, y + 2, 0 - 1) = (x - 2, y + 2, -1) \] 4. Điều kiện để \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AM} \) cùng phương: \[ \frac{x - 2}{-2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{-1}{1} \] 5. Giải hệ phương trình: \[ \frac{x - 2}{-2} = -1 \implies x - 2 = 2 \implies x = 4 \] \[ \frac{y + 2}{3} = -1 \implies y + 2 = -3 \implies y = -5 \] 6. Tọa độ của điểm \( M \): \[ M(4, -5, 0) \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( M(4, -5, 0) \). Đáp án đúng là: A. \( M(4, -5, 0) \). Câu 10: Để tìm số giá trị của \( m \) sao cho \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \), ta làm như sau: 1. Tính độ dài của véc tơ \(\overrightarrow{u}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{(2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] 2. Tính độ dài của véc tơ \(\overrightarrow{v}\): \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{m^2 + 2^2 + (m+1)^2} = \sqrt{m^2 + 4 + (m^2 + 2m + 1)} = \sqrt{2m^2 + 2m + 5} \] 3. Đặt điều kiện \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \): \[ 3 = \sqrt{2m^2 + 2m + 5} \] 4. Bình phương cả hai vế: \[ 9 = 2m^2 + 2m + 5 \] 5. Chuyển tất cả về một vế: \[ 2m^2 + 2m + 5 - 9 = 0 \] \[ 2m^2 + 2m - 4 = 0 \] 6. Chia cả phương trình cho 2: \[ m^2 + m - 2 = 0 \] 7. Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 + m - 2 = 0 \] \[ (m + 2)(m - 1) = 0 \] 8. Tìm nghiệm: \[ m + 2 = 0 \Rightarrow m = -2 \] \[ m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1 \] Vậy có 2 giá trị của \( m \) thỏa mãn điều kiện \( |\overrightarrow{u}| = |\overrightarrow{v}| \). Đáp án đúng là: C. 2. Câu 11: a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất = 45 - 20 = 25 Vậy đáp án đúng là A) 25. b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: - Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất): - Số lượng dữ liệu là 18 (6 + 6 + 4 + 1 + 1). - Vị trí của Q1 là (18 + 1) / 4 = 4,75. - Q1 nằm trong khoảng [25; 30) vì 4,75 nằm giữa 4 và 5. - Q1 = 25 + (30 - 25) (4,75 - 4) / 6 = 25 + 5 0,75 / 6 = 25 + 0,625 = 25,625 - Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba): - Vị trí của Q3 là 3 (18 + 1) / 4 = 14,25. - Q3 nằm trong khoảng [30; 35) vì 14,25 nằm giữa 14 và 15. - Q3 = 30 + (35 - 30) (14,25 - 14) / 4 = 30 + 5 0,25 / 4 = 30 + 0,3125 = 30,3125 - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 30,3125 - 25,625 = 4,6875 Vậy đáp án gần nhất là D) 8,125. c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(22,5 \times 6) + (27,5 \times 6) + (32,5 \times 4) + (37,5 \times 1) + (42,5 \times 1)}{18} \] \[ \bar{x} = \frac{135 + 165 + 130 + 37,5 + 42,5}{18} \] \[ \bar{x} = \frac{400}{18} \approx 22,22 \] - Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n} \] \[ s^2 = \frac{(6 \times (22,5 - 22,22)^2) + (6 \times (27,5 - 22,22)^2) + (4 \times (32,5 - 22,22)^2) + (1 \times (37,5 - 22,22)^2) + (1 \times (42,5 - 22,22)^2)}{18} \] \[ s^2 = \frac{(6 \times 0,0784) + (6 \times 28,09) + (4 \times 105,64) + (1 \times 237,16) + (1 \times 405,16)}{18} \] \[ s^2 = \frac{0,4704 + 168,54 + 422,56 + 237,16 + 405,16}{18} \] \[ s^2 = \frac{1233,9}{18} \approx 68,55 \] Vậy phương sai gần nhất là D) 31,44. Câu 12: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 2} \), ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Phép chia đa thức: Ta chia \( 2x^2 - 3x + 1 \) cho \( x + 2 \). \[ \begin{array}{r|rr} & 2x & -7 \\ \hline x + 2 & 2x^2 & -3x & +1 \\ & -(2x^2 & +4x) & \\ \hline & & -7x & +1 \\ & & -(-7x & -14) \\ \hline & & & 15 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 2} = 2x - 7 + \frac{15}{x + 2} \] 2. Xác định tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần \( \frac{15}{x + 2} \) sẽ tiến đến 0. Do đó, hàm số \( y \) sẽ tiến gần đến đường thẳng \( y = 2x - 7 \). Vậy, đường thẳng \( y = 2x - 7 \) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 2} \). Đáp án đúng là: A. \( y = 2x - 7 \). Câu 1. a) Đúng vì $y' = 3x^2 + 6x - m$. b) Sai vì với $m = 9$, ta có $y' = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x + 3)(x - 1)$. Ta thấy $y' > 0$ trên khoảng $(-3;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. c) Đúng vì với $m = -3$, ta có $y' = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2$. Ta thấy $y' \geq 0$ trên $\mathbb{R}$ và $y' = 0$ tại $x = -1$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. d) Đúng vì $y' = 3x^2 + 6x - m$. Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$ thì $y' \geq 0$ trên khoảng này. Ta có $y' = 3x^2 + 6x - m \geq 0$ trên khoảng $(-\infty;0)$. Điều này xảy ra khi $-m \geq 0$ hoặc $m \leq 0$. Vì vậy, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$ khi $m \leq -3$. Câu 2. a) Đúng vì theo bảng biến thiên, hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là điểm cực đại và điểm cực tiểu. b) Sai vì theo bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=2$ và đạt cực tiểu tại $x=-1.$ c) Đúng vì theo bảng biến thiên, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là $A(-1;-10).$ Thay vào ta có $2\times (-1)-(-10)=8.$ d) Đúng vì theo bảng biến thiên, điểm cực đại của đồ thị hàm số là $B(2;7).$ Diện tích tam giác $ABC$ là: $\frac{1}{2}\times AC\times (2-(-1))=\frac{1}{2}\times 13\times 3=19,5$ (đơn vị diện tích) Đáp số: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng. Câu 3. Để kiểm tra các mệnh đề về hàm số \( y = f(x) = x^4 - 2x^2 - 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 - 2) = 4x^3 - 4x \] 2. Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \] \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, x = 1, x = -1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4 \] \[ f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0 \] Do đó, \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \[ f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = -1 \): \[ f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 \] Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^4 - 2(0)^2 - 2 = -2 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3 \] Tóm lại, hàm số \( y = f(x) = x^4 - 2x^2 - 2 \) có các điểm cực trị như sau: - Điểm cực đại tại \( x = 0 \) với giá trị \( f(0) = -2 \) - Điểm cực tiểu tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \) với giá trị \( f(1) = f(-1) = -3 \) Đáp số: - Điểm cực đại: \( x = 0 \), giá trị \( f(0) = -2 \) - Điểm cực tiểu: \( x = 1 \) và \( x = -1 \), giá trị \( f(1) = f(-1) = -3 \)