Gaiir giupw em

Câu 1: Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left( \frac{x - 2}{x + 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x - 2)'(x + 1) - (x - 2)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(1)(x + 1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm. \[ y' = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Ta thấy rằng $(x + 1)^2$ luôn dương với mọi $x \neq -1$. Do đó, $y'$ luôn dương với mọi $x \neq -1$. Bước 3: Kết luận tính chất đồng biến/nghịch biến của hàm số. - Trên khoảng $(-\infty, -1)$, $y' > 0$, nên hàm số đồng biến. - Trên khoảng $(-1, +\infty)$, $y' > 0$, nên hàm số đồng biến. Do đó, hàm số đồng biến trên cả hai khoảng $(-\infty, -1)$ và $(-1, +\infty)$. Vậy mệnh đề đúng là: D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Đáp án: D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Câu 2: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $-1$, hàm số $f(x)$ giảm. - Khi $x$ tăng từ $-1$ đến $2$, hàm số $f(x)$ tăng. - Khi $x$ tăng từ $2$ đến $+\infty$, hàm số $f(x)$ giảm. Từ đó, ta nhận thấy rằng: - Tại điểm $x = -1$, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó đây là điểm cực tiểu. - Tại điểm $x = 2$, hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó đây là điểm cực đại. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x = 2$. Đáp án đúng là: B. $x = 2$. Câu 3: Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 1]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm cực trị và biên của đoạn: - Ta thấy từ đồ thị, hàm số liên tục trên đoạn \([-1; 1]\). - Các điểm cực trị và biên của đoạn là: \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \). 2. Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: - Tại \( x = -1 \): \( f(-1) = 0 \) - Tại \( x = 0 \): \( f(0) = 1 \) - Tại \( x = 1 \): \( f(1) = 2 \) 3. So sánh các giá trị để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất (M) của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\) là \( f(1) = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\) là \( f(-1) = 0 \). 4. Tính hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - \( M - m = 2 - 0 = 2 \) Vậy giá trị của \( M - m \) là 2. Đáp án đúng là: A. 2. Câu 4: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{x + 1} \] Ta chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x}}{\frac{x + 1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \) tiến đến vô cùng, các phân số \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] 2. Kết luận: Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng là 1. Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \) là \( y = 1 \). Vậy đáp án đúng là: B. \( y = 1 \). Câu 5: Để xác định đường cong cho trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. 1. Kiểm tra các hàm số: - A. \( y = x^3 + 2x + 1 \) - B. \( y = -x^3 - 2x^2 + 1 \) - C. \( y = x^3 - 2x + 1 \) - D. \( y = -x^3 + 2x + 1 \) 2. Phân tích đồ thị: - Đồ thị có dạng uốn lượn, có hai điểm cực đại và cực tiểu. - Đồ thị cắt trục y tại điểm (0, 1). 3. Kiểm tra các hàm số tại điểm \( x = 0 \): - A. \( y(0) = 0^3 + 2 \cdot 0 + 1 = 1 \) - B. \( y(0) = -(0)^3 - 2 \cdot (0)^2 + 1 = 1 \) - C. \( y(0) = 0^3 - 2 \cdot 0 + 1 = 1 \) - D. \( y(0) = -(0)^3 + 2 \cdot 0 + 1 = 1 \) Tất cả các hàm số đều thỏa mãn điều kiện cắt trục y tại điểm (0, 1). Tiếp theo, chúng ta sẽ kiểm tra các tính chất khác của đồ thị để xác định hàm số đúng. 4. Kiểm tra tính chất của các hàm số: - A. \( y = x^3 + 2x + 1 \): Hàm số này có dạng tăng dần và không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. - B. \( y = -x^3 - 2x^2 + 1 \): Hàm số này có dạng giảm dần và có thể có điểm cực đại hoặc cực tiểu. - C. \( y = x^3 - 2x + 1 \): Hàm số này có dạng uốn lượn và có thể có điểm cực đại và cực tiểu. - D. \( y = -x^3 + 2x + 1 \): Hàm số này có dạng uốn lượn và có thể có điểm cực đại và cực tiểu. 5. So sánh với đồ thị: - Đồ thị cho thấy có hai điểm cực đại và cực tiểu, do đó hàm số phải có dạng uốn lượn. - Các hàm số C và D đều có dạng uốn lượn, nhưng chúng ta cần kiểm tra thêm để xác định chính xác. 6. Kiểm tra các điểm đặc biệt trên đồ thị: - Đồ thị có hai điểm cực đại và cực tiểu, và có dạng uốn lượn. - Hàm số \( y = -x^3 + 2x + 1 \) có dạng uốn lượn và có thể có hai điểm cực đại và cực tiểu. Do đó, đường cong cho trong hình là đồ thị của hàm số \( y = -x^3 + 2x + 1 \). Đáp án: D. \( y = -x^3 + 2x + 1 \) Câu 6: Để tìm số nghiệm thực của phương trình \( f(x) = 1 \), chúng ta cần xem xét đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) và tìm các điểm giao giữa đường thẳng \( y = 1 \) và đồ thị của hàm số. Bước 1: Xác định các điểm giao của đường thẳng \( y = 1 \) với đồ thị của hàm số \( y = f(x) \). - Từ đồ thị, ta thấy rằng đường thẳng \( y = 1 \) cắt đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) tại ba điểm khác nhau. Bước 2: Kết luận số nghiệm thực của phương trình \( f(x) = 1 \). - Vì đường thẳng \( y = 1 \) cắt đồ thị của hàm số \( y = f(x) \) tại ba điểm, nên phương trình \( f(x) = 1 \) có ba nghiệm thực. Vậy số nghiệm thực của phương trình \( f(x) = 1 \) là 3. Đáp án đúng là: D. 3.