Giúp mình với!

Bài 1 a) Thực hiện phép nhân đa thức với đơn thức: \[ 2x^2(3x^3 + 2x - 3) \] Ta nhân từng hạng tử của đa thức với đơn thức: \[ = 2x^2 \cdot 3x^3 + 2x^2 \cdot 2x + 2x^2 \cdot (-3) \] \[ = 6x^{2+3} + 4x^{2+1} - 6x^2 \] \[ = 6x^5 + 4x^3 - 6x^2 \] b) Thực hiện phép chia đa thức với đơn thức: \[ (x^3 + 12x^2 - 5x) : x \] Ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức: \[ = \frac{x^3}{x} + \frac{12x^2}{x} - \frac{5x}{x} \] \[ = x^{3-1} + 12x^{2-1} - 5x^{1-1} \] \[ = x^2 + 12x - 5 \] Đáp số: a) $6x^5 + 4x^3 - 6x^2$ b) $x^2 + 12x - 5$ Bài 2 a) \( xy - 3x \) Cách giải: - Ta nhận thấy cả hai hạng tử đều có chứa \( x \). - Ta có thể đặt \( x \) làm thừa số chung. \[ xy - 3x = x(y - 3) \] b) \( ax + ay + 2x + 2y \) Cách giải: - Ta nhóm các hạng tử có chứa \( a \) và các hạng tử còn lại lại với nhau. \[ ax + ay + 2x + 2y = a(x + y) + 2(x + y) \] - Ta nhận thấy cả hai nhóm đều có chứa \( (x + y) \). - Ta đặt \( (x + y) \) làm thừa số chung. \[ a(x + y) + 2(x + y) = (x + y)(a + 2) \] c) \( x^2 - 6x - y^2 + 9 \) Cách giải: - Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và các hạng tử liên quan đến \( y \). \[ x^2 - 6x - y^2 + 9 = (x^2 - 6x + 9) - y^2 \] - Ta nhận thấy \( x^2 - 6x + 9 \) là một hằng đẳng thức hoàn chỉnh. \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \] - Do đó ta có: \[ (x - 3)^2 - y^2 \] - Ta nhận thấy đây là dạng hiệu hai bình phương. \[ (x - 3)^2 - y^2 = (x - 3 - y)(x - 3 + y) \] Đáp số: a) \( x(y - 3) \) b) \( (x + y)(a + 2) \) c) \( (x - 3 - y)(x - 3 + y) \) Bài 3 a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x=-5.$ Thay $x=-5$ vào biểu thức B ta được: $B=\frac{2\times (-5)-2}{5}=\frac{-10-2}{5}=\frac{-12}{5}$ b) Rút gọn biểu thức A . $A=\frac{2x}{x-3}-\frac{1}{x+3}+\frac{2x^2-12}{9-x^2}$ $=\frac{2x}{x-3}-\frac{1}{x+3}-\frac{2(x^2-6)}{(x-3)(x+3)}$ $=\frac{2x(x+3)-(x-3)-2(x^2-6)}{(x-3)(x+3)}$ $=\frac{2x^2+6x-x+3-2x^2+12}{(x-3)(x+3)}$ $=\frac{5x+15}{(x-3)(x+3)}$ $=\frac{5(x+3)}{(x-3)(x+3)}$ $=\frac{5}{x-3}$ c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức $M=A.B$ nhận giá trị nguyên. $M=A.B=\frac{5}{x-3}\times \frac{2x-2}{5}=\frac{2(x-1)}{x-3}$ $=\frac{2(x-3)+6}{x-3}=2+\frac{6}{x-3}$ Biểu thức M nhận giá trị nguyên khi $\frac{6}{x-3}$ nhận giá trị nguyên Hay $x-3$ là ước của 6 Vậy $x-3=1;2;3;6;-1;-2;-3;-6$ Từ đó ta tìm được $x=4;5;6;9;2;1;0;-3$ Vậy $x=4;5;6;9;2;1;0;-3$ thì M nhận giá trị nguyên. Bài 4 a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là: $\frac{10000}{x}$ (sản phẩm) b) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo thực tế là: $\frac{10000 + 80}{x - 1} = \frac{10080}{x - 1}$ (sản phẩm) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo dự định là: $\frac{10080}{x - 1} - \frac{10000}{x}$ (sản phẩm) Bài 5 1) Độ dài đường chéo của màn hình chiếc tivi là: \[ \sqrt{72^2 + 120^2} = \sqrt{5184 + 14400} = \sqrt{19584} = 140 \text{ cm} \] Đổi độ dài đường chéo sang inch: \[ 140 \text{ cm} = \frac{140}{2,54} \approx 55,12 \text{ inch} \] Đáp số: 55,12 inch 2) a) Ta có: - $\angle A = 90^\circ$ - $\angle AED = 90^\circ$ (vì DE vuông góc với AB) - $\angle ADF = 90^\circ$ (vì DF vuông góc với AC) Do đó, tứ giác AEDF có ba góc vuông, nên AEDF là hình chữ nhật. b) Ta có: - D là trung điểm của BC, nên BD = DC. - $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$ (vì D là trung điểm của BC trong tam giác vuông ABC) - DF = FH (theo đề bài) Do đó, tam giác DFC và tam giác DHC là hai tam giác vuông cân tại D, nên FC = HC và $\angle DCF = \angle DCH$. Từ đó, ta có: - AC = 2AF (vì F là trung điểm của AC) - AD = DC (vì D là trung điểm của BC) - AD = DH (vì DFC và DHC là hai tam giác vuông cân tại D) Do đó, tứ giác ADCH là hình thoi. c) Ta có: - AD là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên AD chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. - EF là đường cao của hình chữ nhật AEDF, nên EF vuông góc với AD. - BH là đường thẳng đi qua đỉnh B và cắt AD tại H, nên BH vuông góc với AD. Do đó, các đường thẳng AD, BH, EF đồng quy tại điểm H. Đáp số: Các đường thẳng AD, BH, EF đồng quy tại điểm H. Bài 6. Để chứng minh $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{3}{abc}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xét điều kiện ban đầu $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Bước 2: Ta mở rộng vế trái của phương trình: \[ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \] Bước 3: Thay vào điều kiện ban đầu: \[ a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 \] Bước 4: Trừ $a^2 + b^2 + c^2$ từ cả hai vế: \[ 2(ab + bc + ca) = 0 \] Bước 5: Chia cả hai vế cho 2: \[ ab + bc + ca = 0 \] Bước 6: Ta cần chứng minh $\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{3}{abc}$. Ta sẽ biến đổi biểu thức này: \[ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{b^3c^3 + a^3c^3 + a^3b^3}{a^3b^3c^3} \] Bước 7: Ta biết rằng $ab + bc + ca = 0$, ta sẽ sử dụng nó để biến đổi tiếp: \[ (b + c)(a + b)(a + c) = abc \] Bước 8: Ta thấy rằng: \[ b^3c^3 + a^3c^3 + a^3b^3 = (bc + ac + ab)(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 - abc(a + b + c)) \] Bước 9: Vì $ab + bc + ca = 0$, nên: \[ b^3c^3 + a^3c^3 + a^3b^3 = 3a^2b^2c^2 \] Bước 10: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{b^3c^3 + a^3c^3 + a^3b^3}{a^3b^3c^3} = \frac{3a^2b^2c^2}{a^3b^3c^3} = \frac{3}{abc} \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} = \frac{3}{abc} \]