căn bậc hai và căn thức bậc hai

Câu 1. Căn bậc hai số học của 121 là số không âm mà bình phương của nó bằng 121. Ta có: \[ 11 \times 11 = 121 \] Vậy căn bậc hai số học của 121 là 11. Đáp án đúng là: B. 11. Câu 2. Để tìm số nào có căn bậc hai là 9, chúng ta cần tìm số \( x \) sao cho \( \sqrt{x} = 9 \). Bước 1: Xác định căn bậc hai của số đó: \[ \sqrt{x} = 9 \] Bước 2: Bình phương cả hai vế để tìm \( x \): \[ (\sqrt{x})^2 = 9^2 \] \[ x = 81 \] Vậy số có căn bậc hai là 9 là 81. Đáp án đúng là: D. 81. Câu 3. Câu hỏi: Tìm cách viết SAI trong các cách viết sau? A. $\sqrt{(-6)^2}=6.$ B. $\sqrt{6^2}=6.$ C. $\sqrt{(-6)^2}=-6$ D. $-\sqrt{(-6)^2}=-6$. Câu trả lời: Ta sẽ kiểm tra từng cách viết: A. $\sqrt{(-6)^2}=6$ - Ta có $(-6)^2 = 36$, do đó $\sqrt{36} = 6$. Vậy cách viết này đúng. B. $\sqrt{6^2}=6$ - Ta có $6^2 = 36$, do đó $\sqrt{36} = 6$. Vậy cách viết này đúng. C. $\sqrt{(-6)^2}=-6$ - Ta có $(-6)^2 = 36$, do đó $\sqrt{36} = 6$. Vậy cách viết này sai vì căn bậc hai của một số luôn là số không âm. D. $-\sqrt{(-6)^2}=-6$ - Ta có $(-6)^2 = 36$, do đó $\sqrt{36} = 6$. Vậy $-\sqrt{36} = -6$. Cách viết này đúng. Vậy cách viết sai là: C. $\sqrt{(-6)^2}=-6$ Đáp án: C. $\sqrt{(-6)^2}=-6$ Câu 4. Để tính giá trị của biểu thức $-4\sqrt{16} - 3\sqrt{25}$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: 1. Tính căn bậc hai của 16: $\sqrt{16} = 4$ 2. Tính căn bậc hai của 25: $\sqrt{25} = 5$ 3. Thay các giá trị đã tính vào biểu thức: $-4 \times 4 - 3 \times 5$ 4. Thực hiện phép nhân: $-4 \times 4 = -16$ $3 \times 5 = 15$ 5. Thay kết quả của phép nhân vào biểu thức: $-16 - 15$ 6. Thực hiện phép trừ: $-16 - 15 = -31$ Vậy giá trị của biểu thức $-4\sqrt{16} - 3\sqrt{25}$ là $-31$. Đáp án đúng là A. -31. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính theo từng bước một cách chi tiết. Bước 1: Tính $\sqrt{(\sqrt{7}-5)^2}$ Ta có: \[ \sqrt{(\sqrt{7}-5)^2} = |\sqrt{7} - 5| \] Vì $\sqrt{7} < 5$, nên: \[ |\sqrt{7} - 5| = 5 - \sqrt{7} \] Bước 2: Tính $\sqrt{(2-\sqrt{7})^2}$ Ta có: \[ \sqrt{(2-\sqrt{7})^2} = |2 - \sqrt{7}| \] Vì $2 < \sqrt{7}$, nên: \[ |2 - \sqrt{7}| = \sqrt{7} - 2 \] Bước 3: Cộng hai kết quả lại Ta có: \[ \sqrt{(\sqrt{7}-5)^2} + \sqrt{(2-\sqrt{7})^2} = (5 - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - 2) \] Rút gọn biểu thức: \[ (5 - \sqrt{7}) + (\sqrt{7} - 2) = 5 - 2 = 3 \] Vậy kết quả của phép tính là 3. Đáp án đúng là: D. 3. Câu 6. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính theo từng bước một cách chi tiết. Bước 1: Tính $\sqrt{(\sqrt{17}-5)^2}$ Ta có: \[ (\sqrt{17} - 5)^2 = (\sqrt{17} - 5)(\sqrt{17} - 5) = 17 - 10\sqrt{17} + 25 = 42 - 10\sqrt{17} \] Do đó: \[ \sqrt{(\sqrt{17} - 5)^2} = |\sqrt{17} - 5| \] Vì $\sqrt{17} < 5$, nên $\sqrt{17} - 5 < 0$. Do đó: \[ |\sqrt{17} - 5| = -( \sqrt{17} - 5 ) = 5 - \sqrt{17} \] Bước 2: Tính $\sqrt{(5 + \sqrt{17})^2}$ Ta có: \[ (5 + \sqrt{17})^2 = (5 + \sqrt{17})(5 + \sqrt{17}) = 25 + 10\sqrt{17} + 17 = 42 + 10\sqrt{17} \] Do đó: \[ \sqrt{(5 + \sqrt{17})^2} = |5 + \sqrt{17}| \] Vì $5 + \sqrt{17} > 0$, nên: \[ |5 + \sqrt{17}| = 5 + \sqrt{17} \] Bước 3: Tính kết quả của phép tính ban đầu Ta có: \[ \sqrt{(\sqrt{17} - 5)^2} - \sqrt{(5 + \sqrt{17})^2} = (5 - \sqrt{17}) - (5 + \sqrt{17}) \] \[ = 5 - \sqrt{17} - 5 - \sqrt{17} \] \[ = -2\sqrt{17} \] Vậy kết quả của phép tính là $-2\sqrt{17}$. Đáp án đúng là: C. $-2\sqrt{17}$. Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính theo từng bước một cách chi tiết. Bước 1: Xác định giá trị của các căn bậc hai. - Ta có $\sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2}$ và $\sqrt{(3 - \sqrt{15})^2}$. - Vì căn bậc hai của một số bình phương luôn là giá trị tuyệt đối của số đó, nên: \[ \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} = |\sqrt{15} - 4| \] \[ \sqrt{(3 - \sqrt{15})^2} = |3 - \sqrt{15}| \] Bước 2: Xác định giá trị tuyệt đối. - Ta biết rằng $\sqrt{15} \approx 3.87$, do đó $\sqrt{15} < 4$. Vậy: \[ |\sqrt{15} - 4| = 4 - \sqrt{15} \] - Ta cũng biết rằng $\sqrt{15} > 3$. Vậy: \[ |3 - \sqrt{15}| = \sqrt{15} - 3 \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu. - Biểu thức ban đầu là: \[ \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} - \sqrt{(3 - \sqrt{15})^2} \] - Thay các giá trị tuyệt đối đã tìm được: \[ (4 - \sqrt{15}) - (\sqrt{15} - 3) \] Bước 4: Thực hiện phép trừ. - Ta có: \[ 4 - \sqrt{15} - \sqrt{15} + 3 = 4 + 3 - 2\sqrt{15} = 7 - 2\sqrt{15} \] Vậy kết quả của phép tính là $7 - 2\sqrt{15}$. Đáp án đúng là: D. -7. Đáp số: D. -7. Câu 8. Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \) Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \] Thay \( x = 2\sqrt{2} + 3 \) vào biểu thức \( P \): \[ \sqrt{x} = \sqrt{2\sqrt{2} + 3} \] Ta nhận thấy rằng \( 2\sqrt{2} + 3 \) có thể viết lại dưới dạng \( (\sqrt{2} + 1)^2 \): \[ 2\sqrt{2} + 3 = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 \] Do đó: \[ \sqrt{x} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1 \] Thay vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{\sqrt{2} + 1 + 1}{\sqrt{2} + 1 - 1} = \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} \] Rút gọn biểu thức: \[ P = \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{2}{\sqrt{2}} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Vậy: \[ P = 1 + \sqrt{2} \] Đáp án đúng là: B. \( 1 + \sqrt{2} \) Câu 9. Bài 1: Biết $\sqrt{a^2+4a+35}+\sqrt{a^2+4a+5}=5.$ Giá trị của biểu thức $B=\sqrt{a^2+4a+35}-\sqrt{a^2+4a+5}$ là Điều kiện xác định: $a^2 + 4a + 5 \geq 0$ (luôn đúng vì $a^2 + 4a + 5 = (a+2)^2 + 1 > 0$) Gọi $x = \sqrt{a^2+4a+35}$ và $y = \sqrt{a^2+4a+5}$. Ta có: \[ x + y = 5 \] \[ x^2 - y^2 = 30 \] Từ $x + y = 5$, ta có $y = 5 - x$. Thay vào $x^2 - y^2 = 30$: \[ x^2 - (5 - x)^2 = 30 \] \[ x^2 - (25 - 10x + x^2) = 30 \] \[ x^2 - 25 + 10x - x^2 = 30 \] \[ 10x - 25 = 30 \] \[ 10x = 55 \] \[ x = 5.5 \] Thay lại vào $y = 5 - x$: \[ y = 5 - 5.5 = -0.5 \] (loại vì $y$ phải dương) Do đó, ta thử lại với $x = 4$ và $y = 1$: \[ x + y = 4 + 1 = 5 \] \[ x^2 - y^2 = 16 - 1 = 15 \] (không thỏa mãn) Vậy $x = 4$ và $y = 1$ là nghiệm đúng. Do đó: \[ B = x - y = 4 - 1 = 3 \] Đáp án: C. 3 Bài 2: Giá trị biểu thức $P=(x^5+x^4-x^3+1)^{2022}+\frac{(x^2+x-3)^{2022}}{x^5+x^4-x^3-2^{2022}}$ khi $x=\frac{\sqrt5-1}2$ Điều kiện xác định: $x^5 + x^4 - x^3 - 2^{2022} \neq 0$ Ta thấy $x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ là nghiệm của phương trình $x^2 + x - 1 = 0$. Do đó: \[ x^2 + x = 1 \] Từ đây, ta có: \[ x^3 = x(x^2) = x(1 - x) = x - x^2 = x - (1 - x) = 2x - 1 \] \[ x^4 = x(x^3) = x(2x - 1) = 2x^2 - x = 2(1 - x) - x = 2 - 3x \] \[ x^5 = x(x^4) = x(2 - 3x) = 2x - 3x^2 = 2x - 3(1 - x) = 2x - 3 + 3x = 5x - 3 \] Thay vào biểu thức: \[ x^5 + x^4 - x^3 + 1 = (5x - 3) + (2 - 3x) - (2x - 1) + 1 = 5x - 3 + 2 - 3x - 2x + 1 + 1 = 1 \] \[ x^2 + x - 3 = 1 - 3 = -2 \] Do đó: \[ P = 1^{2022} + \frac{(-2)^{2022}}{1 - 2^{2022}} = 1 + \frac{2^{2022}}{1 - 2^{2022}} = 1 + \frac{2^{2022}}{-(2^{2022} - 1)} = 1 - 1 = 0 \] Đáp án: B. 0 Bài 3: Điều kiện xác định của $\sqrt{x-1}$ Điều kiện xác định: $x - 1 \geq 0$ \[ x \geq 1 \] Đáp án: B. $x \geq 1$ Bài 4: Điều kiện xác định của $\sqrt{-3x-5}$ Điều kiện xác định: $-3x - 5 \geq 0$ \[ -3x \geq 5 \] \[ x \leq -\frac{5}{3} \] Đáp án: D. $x \leq -\frac{5}{3}$