căn bậc hai và căn thức bậc hai

Câu 4. Để biểu thức $B=\sqrt{\frac{-2001}{x-3}}$ có nghĩa, ta cần đảm bảo rằng phân số $\frac{-2001}{x-3}$ nằm trong miền xác định của căn bậc hai, tức là nó phải lớn hơn hoặc bằng 0. Đồng thời, mẫu số của phân số không được bằng 0. 1. Phân số phải lớn hơn hoặc bằng 0: \[ \frac{-2001}{x-3} \geq 0 \] Vì tử số là -2001 (số âm), để phân số này lớn hơn hoặc bằng 0, mẫu số phải là số âm: \[ x - 3 < 0 \implies x < 3 \] 2. Mẫu số không được bằng 0: \[ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 \] Từ hai điều kiện trên, ta thấy rằng \( x < 3 \) đã bao gồm điều kiện \( x \neq 3 \). Do đó, điều kiện xác định của biểu thức là: \[ x < 3 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( x < 3 \) Câu 5. Để biểu thức \( A = \sqrt{\frac{-x^2}{x+2}} \) xác định, ta cần phân tích điều kiện của biểu thức này. 1. Phân tử: \[ -x^2 \] Phân tử là \(-x^2\), luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 vì \(x^2\) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0. 2. Mẫu số: \[ x + 2 \] Mẫu số phải khác 0 để biểu thức có nghĩa: \[ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2 \] 3. Tổng hợp điều kiện: Để biểu thức \( \sqrt{\frac{-x^2}{x+2}} \) xác định, ta cần: \[ \frac{-x^2}{x+2} \geq 0 \] Vì \(-x^2\) luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, để phân số này lớn hơn hoặc bằng 0, mẫu số \(x + 2\) phải nhỏ hơn 0: \[ x + 2 < 0 \implies x < -2 \] Do đó, biểu thức \( A = \sqrt{\frac{-x^2}{x+2}} \) xác định khi và chỉ khi \( x < -2 \). Đáp án đúng là: C. \( x < -2 \). Câu 6. Để biểu thức $A=\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}$ xác định, ta cần cả hai căn thức đều xác định. 1. Căn thức $\sqrt{x+3}$ xác định khi $x+3 \geq 0$, tức là $x \geq -3$. 2. Căn thức $\sqrt{x-2}$ xác định khi $x-2 \geq 0$, tức là $x \geq 2$. Do đó, để cả hai căn thức đều xác định, ta cần $x$ thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Điều này có nghĩa là $x$ phải lớn hơn hoặc bằng 2. Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \geq 2$. Đáp án đúng là: A. $x \geq 2$. Câu 7. Để biểu thức \( A = \sqrt{x+1} - \sqrt{1-x} \) xác định, ta cần cả hai căn thức đều xác định. 1. Căn thức \( \sqrt{x+1} \) xác định khi: \[ x + 1 \geq 0 \] \[ x \geq -1 \] 2. Căn thức \( \sqrt{1-x} \) xác định khi: \[ 1 - x \geq 0 \] \[ x \leq 1 \] Do đó, để cả hai căn thức đều xác định, ta cần: \[ -1 \leq x \leq 1 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( -1 \leq x \leq 1 \) Đáp án: A. \( -1 \leq x \leq 1 \) Câu 8. Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \( A \), chúng ta cần đảm bảo rằng tất cả các phân thức và căn thức trong biểu thức đều có nghĩa. Biểu thức \( A \) là: \[ A = \left( \frac{x - \sqrt{x} + 7}{x - 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} - \frac{2\sqrt{x}}{x - 4} \right) \] 1. Phân thức \(\frac{x - \sqrt{x} + 7}{x - 4}\): - Điều kiện: \( x \neq 4 \) 2. Phân thức \(\frac{1}{\sqrt{x} - 2}\): - Điều kiện: \( \sqrt{x} - 2 \neq 0 \) - Suy ra: \( \sqrt{x} \neq 2 \) - Suy ra: \( x \neq 4 \) 3. Phân thức \(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2}\): - Điều kiện: \( \sqrt{x} - 2 \neq 0 \) - Suy ra: \( \sqrt{x} \neq 2 \) - Suy ra: \( x \neq 4 \) 4. Phân thức \(\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2}\): - Điều kiện: \( \sqrt{x} + 2 \neq 0 \) - Suy ra: \( \sqrt{x} \neq -2 \) - Điều này luôn đúng vì căn bậc hai của một số không âm luôn dương hoặc bằng 0. 5. Phân thức \(\frac{2\sqrt{x}}{x - 4}\): - Điều kiện: \( x - 4 \neq 0 \) - Suy ra: \( x \neq 4 \) 6. Căn thức \(\sqrt{x}\): - Điều kiện: \( x \geq 0 \) Tóm lại, điều kiện xác định của biểu thức \( A \) là: \[ x \geq 0 \text{ và } x \neq 4 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( x \geq 0; x \neq 4 \) Câu 9. Điều kiện xác định của biểu thức \( A \) là: - \( x \geq 0 \) để căn thức \( \sqrt{x} \) có nghĩa. - \( x \neq 1 \) để các mẫu số \( 1 - \sqrt{x} \) và \( 1 + \sqrt{x} \) không bằng 0. Do đó, điều kiện xác định của \( A \) là \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). Đáp án đúng là: D. \( x \geq 0; x \neq 1 \) Đáp số: D. \( x \geq 0; x \neq 1 \) Câu 10. Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \( P = \frac{\sqrt{-a^2 + 2a + 3}}{\sqrt{a} + 2} + \frac{4 - a}{2 - \sqrt{a}} \), chúng ta cần đảm bảo rằng các phần tử trong biểu thức đều có nghĩa. 1. Phân tích từng phần của biểu thức: - Phần tử đầu tiên: \( \frac{\sqrt{-a^2 + 2a + 3}}{\sqrt{a} + 2} \) - Để căn bậc hai \( \sqrt{-a^2 + 2a + 3} \) có nghĩa, ta cần \( -a^2 + 2a + 3 \geq 0 \). - Để \( \sqrt{a} \) có nghĩa, ta cần \( a \geq 0 \). - Để \( \sqrt{a} + 2 \neq 0 \), ta cần \( \sqrt{a} \neq -2 \), điều này luôn đúng vì \( \sqrt{a} \geq 0 \). - Phần tử thứ hai: \( \frac{4 - a}{2 - \sqrt{a}} \) - Để \( \sqrt{a} \) có nghĩa, ta cần \( a \geq 0 \). - Để \( 2 - \sqrt{a} \neq 0 \), ta cần \( \sqrt{a} \neq 2 \), tức là \( a \neq 4 \). 2. Tìm điều kiện cho \( -a^2 + 2a + 3 \geq 0 \): - Ta giải bất phương trình \( -a^2 + 2a + 3 \geq 0 \): - Tìm nghiệm của phương trình \( -a^2 + 2a + 3 = 0 \): \[ a^2 - 2a - 3 = 0 \] \[ (a - 3)(a + 1) = 0 \] Nghiệm của phương trình là \( a = 3 \) và \( a = -1 \). - Xét dấu của \( -a^2 + 2a + 3 \) trên các khoảng: - Khi \( a < -1 \), \( -a^2 + 2a + 3 < 0 \). - Khi \( -1 \leq a \leq 3 \), \( -a^2 + 2a + 3 \geq 0 \). - Khi \( a > 3 \), \( -a^2 + 2a + 3 < 0 \). 3. Kết hợp các điều kiện: - Từ \( a \geq 0 \) và \( -1 \leq a \leq 3 \), ta có \( 0 \leq a \leq 3 \). - Kết hợp với điều kiện \( a \neq 4 \), ta thấy điều này không ảnh hưởng vì \( a \leq 3 \). Vậy điều kiện xác định của biểu thức \( P \) là \( 0 \leq a \leq 3 \). Đáp án đúng là: D. \( 0 \leq a \leq 3 \). Câu 1. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{36x^2}$ với điều kiện $x < 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Ta nhận thấy rằng $\sqrt{36x^2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{x^2}$. 2. Biểu thức $\sqrt{36}$ là căn bậc hai của 36, do đó $\sqrt{36} = 6$. 3. Biểu thức $\sqrt{x^2}$ là căn bậc hai của $x^2$. Vì $x < 0$, nên $\sqrt{x^2} = -x$ (do căn bậc hai của một số âm sẽ là số dương và vì $x$ là số âm, nên $-x$ sẽ là số dương). Do đó, ta có: \[ \sqrt{36x^2} = 6 \cdot (-x) = -6x \] Vậy đáp án đúng là: A. $-6x$ Câu 2. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{(x^2+2)^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của biểu thức $(x^2+2)$. - Ta thấy rằng $x^2$ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó $x^2 + 2$ luôn luôn lớn hơn 0. Bước 2: Áp dụng công thức $\sqrt{a^2} = |a|$. - Trong trường hợp này, $a = x^2 + 2$, nên $\sqrt{(x^2+2)^2} = |x^2 + 2|$. Bước 3: Xác định giá trị tuyệt đối của $x^2 + 2$. - Vì $x^2 + 2$ luôn luôn lớn hơn 0, nên $|x^2 + 2| = x^2 + 2$. Kết luận: Biểu thức $\sqrt{(x^2+2)^2}$ được rút gọn thành $x^2 + 2$. Do đó, đáp án đúng là: D. $x^2 + 2$. Câu 3. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{\frac{1}{9}a^4b^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$, $a^4 = (a^2)^2$, và $b^2 = |b|^2$. Do đó, ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng: \[ \sqrt{\frac{1}{9}a^4b^2} = \sqrt{(\frac{1}{3})^2(a^2)^2|b|^2} \] Bước 2: Áp dụng tính chất của căn bậc hai, ta có: \[ \sqrt{(\frac{1}{3})^2(a^2)^2|b|^2} = \sqrt{(\frac{1}{3}a^2|b|)^2} \] Bước 3: Ta biết rằng $\sqrt{x^2} = |x|$, do đó: \[ \sqrt{(\frac{1}{3}a^2|b|)^2} = |\frac{1}{3}a^2|b|| \] Bước 4: Vì $a^2$ luôn dương hoặc bằng 0, và $|b|$ cũng luôn dương hoặc bằng 0, nên $\frac{1}{3}a^2|b|$ luôn dương hoặc bằng 0. Do đó, ta có: \[ |\frac{1}{3}a^2|b|| = \frac{1}{3}a^2|b| \] Vậy, biểu thức $\sqrt{\frac{1}{9}a^4b^2}$ được rút gọn thành $\frac{1}{3}a^2|b|$. Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3}a^2|b|$. Câu 4. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{16x^2} + \sqrt{25x^2}$ với điều kiện $x \geq 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm căn bậc hai của từng phần trong biểu thức: - $\sqrt{16x^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2} = 4x$ - $\sqrt{25x^2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{x^2} = 5x$ 2. Cộng các kết quả lại: - $\sqrt{16x^2} + \sqrt{25x^2} = 4x + 5x = 9x$ Vậy biểu thức $\sqrt{16x^2} + \sqrt{25x^2}$ rút gọn thành $9x$. Đáp án đúng là: A. $9x$. Câu 5. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{2x.18xy^4}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân các số hạng bên trong căn bậc hai: \[ \sqrt{2x.18xy^4} = \sqrt{36x^2y^4} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức dưới dấu căn: \[ \sqrt{36x^2y^4} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{y^4} \] Bước 3: Tính căn bậc hai của từng số hạng: \[ \sqrt{36} = 6 \] \[ \sqrt{x^2} = x \] (vì \( x \geq 0 \)) \[ \sqrt{y^4} = y^2 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả lại: \[ \sqrt{36x^2y^4} = 6 \cdot x \cdot y^2 = 6xy^2 \] Vậy biểu thức $\sqrt{2x.18xy^4}$ được rút gọn thành $6xy^2$. Đáp án đúng là: B. $6xy^2$. Câu 6. Để rút gọn biểu thức $\sqrt{9x^4y^2} - 4x^2y$ với điều kiện $y < 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn căn bậc hai: \[ \sqrt{9x^4y^2} = \sqrt{(3x^2)^2 \cdot y^2} = |3x^2| \cdot |y| \] Vì $x^2$ luôn dương nên $|3x^2| = 3x^2$. Do $y < 0$, nên $|y| = -y$. Vậy: \[ \sqrt{9x^4y^2} = 3x^2 \cdot (-y) = -3x^2y \] 2. Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \sqrt{9x^4y^2} - 4x^2y = -3x^2y - 4x^2y \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ -3x^2y - 4x^2y = -7x^2y \] Vậy kết quả rút gọn của biểu thức là $-7x^2y$. Đáp án đúng là: C. $-7x^2y$.