vẽ hình minh họa nx nha

Bài 3: a) Ta có \( MN \perp AB \) và \( MH \perp AC \). Do đó, góc \( ANM \) và góc \( AMH \) đều là góc vuông. Vì \( \Delta ABC \) là tam giác vuông tại \( A \), nên \( \angle BAC = 90^\circ \). Do đó, \( \angle MAN + \angle NAM = 90^\circ \) và \( \angle MAH + \angle HAC = 90^\circ \). Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( AM \) là đường trung tuyến của \( \Delta ABC \). Do đó, \( AM \) chia đôi \( \angle BAC \) thành hai góc bằng nhau, tức là \( \angle MAN = \angle MAH \). Từ đó ta có \( \angle NAM = \angle HAC \). Vậy \( \angle NAM = \angle HAC = 90^\circ \). Do đó, tứ giác \( ANMH \) có ba góc vuông, suy ra \( ANMH \) là hình chữ nhật. b) Ta có \( HK = HM \) và \( HK \) nằm trên tia đối của tia \( HM \). Do đó, \( K \) nằm trên đường thẳng qua \( H \) và vuông góc với \( AC \). Vì \( ANMH \) là hình chữ nhật, nên \( AM \parallel NH \) và \( AM = NH \). Ta cũng có \( HK = HM \), do đó \( K \) nằm trên đường thẳng qua \( H \) và vuông góc với \( AC \). Vậy \( AK \parallel MC \) và \( AK = MC \). Do đó, tứ giác \( AMCK \) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, suy ra \( AMCK \) là hình bình hành. Vì \( \angle MAC = 90^\circ \), nên \( AMCK \) là hình chữ nhật. Đáp số: a) Tứ giác \( ANMH \) là hình chữ nhật. b) Tứ giác \( AMCK \) là hình chữ nhật. Bài 4: a) Vì I là trung điểm của BC và D là điểm đối xứng của A qua I nên AI = ID và BI = IC. Do đó, tứ giác ABDC có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo, suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành. b) Vì M là trung điểm của ID và M cũng là trung điểm của BE nên tứ giác IMBE là hình bình hành. Do đó, IM // BE và IM = BE. Mặt khác, vì ABDC là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC. Suy ra, MI // AC và MI = AC. Vậy tứ giác ACEI là hình bình hành. c) Vì ACEI là hình bình hành nên CE = AI. Mà AI = ID (vì D là điểm đối xứng của A qua I) và M là trung điểm của ID nên IM = $\frac{1}{2}$ID. Suy ra, CE = 2IM. Bài 5: a) Ta có: $AB=2AD$ và E là trung điểm của AB nên $AE=AD$. Tương tự ta cũng có $CF=CD$. Mà $AB=CD$ nên $AE=CF$. Ta lại có $AE//CF$ nên tứ giác AECF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). b) Ta có $AE=ED=\frac{1}{2}AB$ và $AF=FD=\frac{1}{2}CD$. Mà $AB=CD$ nên $AE=ED=AF=FD$. Vậy tứ giác AEFD là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi). c) Ta có tứ giác AECF là hình bình hành nên $AF//CE$. Tứ giác AEFD là hình thoi nên $DE//AF$. Vậy $DE//CE$. Tứ giác AECF là hình bình hành nên $BF//AE$. Tứ giác AEFD là hình thoi nên $DE//AE$. Vậy $DE//BF$. Từ đó ta có tứ giác EIFK có $IE//KF$ và $EK//IF$. Vậy tứ giác EIFK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). Tứ giác AEFD là hình thoi nên $DE\perp AF$. Mà $IE\subset DE$ và $IF\subset AF$ nên $IE\perp IF$. Vậy tứ giác EIFK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật). d) Ta có tứ giác EIFK là hình chữ nhật. Để tứ giác EIFK là hình vuông thì $IE=IF$. Mà $IE\subset DE$ và $IF\subset AF$. Vậy để tứ giác EIFK là hình vuông thì $DE=AF$. Mà $DE=AF$ khi và chỉ khi $DA=DF$. Vậy để tứ giác EIFK là hình vuông thì $DA=DF$.