Giai ho to voi cac cau

Câu 63. Để kiểm tra xem ba vectơ $\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}$ có đồng phẳng hay không, ta sẽ kiểm tra xem liệu có tồn tại các số thực $k_1, k_2, k_3$ không đồng thời bằng 0 sao cho: \[ k_1 \overrightarrow{x} + k_2 \overrightarrow{y} + k_3 \overrightarrow{z} = \overrightarrow{0} \] Thay các vectơ vào phương trình trên: \[ k_1 (2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + k_2 (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) + k_3 (-3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{0} \] Phân tích theo các thành phần của $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$: \[ (2k_1 + k_2)\overrightarrow{a} + (k_1 - k_2 - 3k_3)\overrightarrow{b} + (-k_2 - 2k_3)\overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} \] Vì $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ không đồng phẳng, nên các hệ số của chúng phải bằng 0: \[ \begin{cases} 2k_1 + k_2 = 0 \\ k_1 - k_2 - 3k_3 = 0 \\ -k_2 - 2k_3 = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này: Từ phương trình thứ ba: \[ -k_2 - 2k_3 = 0 \Rightarrow k_2 = -2k_3 \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ k_1 - (-2k_3) - 3k_3 = 0 \Rightarrow k_1 + 2k_3 - 3k_3 = 0 \Rightarrow k_1 - k_3 = 0 \Rightarrow k_1 = k_3 \] Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 2k_1 + k_2 = 0 \Rightarrow 2k_3 - 2k_3 = 0 \Rightarrow 0 = 0 \] Như vậy, ta thấy rằng hệ phương trình này có nghiệm không đồng thời bằng 0, cụ thể là $k_1 = k_3$ và $k_2 = -2k_3$. Điều này chứng tỏ ba vectơ $\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}, \overrightarrow{z}$ đồng phẳng. Do đó, khẳng định đúng là: A. Ba vectơ $\overrightarrow{x}; \overrightarrow{y}; \overrightarrow{z}$ đồng phẳng. Câu 64. Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Ba véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương. - Điều này đúng vì nếu hai véctơ cùng phương thì chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc song song với nhau, do đó ba véctơ sẽ đồng phẳng. B. Ba véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ $\overrightarrow0.$ - Điều này cũng đúng vì véctơ $\overrightarrow0$ có thể coi là nằm trên mọi mặt phẳng, do đó ba véctơ sẽ đồng phẳng. C. véctơ $\overrightarrow x=\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c$ luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$. - Điều này đúng vì tổng của ba véctơ luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ trong tổng đó. D. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' ba vécto $\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{CA'},\overrightarrow{DA'}$ đồng phẳng. - Điều này sai vì ba véctơ $\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{CA'},\overrightarrow{DA'}$ không đồng phẳng. Chúng tạo thành một hình hộp, do đó không nằm trên cùng một mặt phẳng. Vậy mệnh đề sai là D. Câu 65. A. Từ hệ thức $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}-8\overrightarrow{AD}$ ta suy ra ba véctơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ đồng phẳng. - Đúng vì nếu một véctơ có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai véctơ khác thì ba véctơ đó đồng phẳng. B. Vì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=0$ nên N là trung điểm của đoạn MP. - Sai vì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=0$ chỉ chứng tỏ rằng $\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{NP}$, tức là N nằm trên đường thẳng đi qua M và P nhưng không nhất thiết là trung điểm của đoạn MP. C. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có $\overrightarrow{OI}=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ - Đúng vì công thức này đúng theo tính chất của trung điểm trong đại lượng vectơ. D. Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0$ nên bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một mặt phẳng. - Đúng vì tổng các vectơ cạnh của một tứ giác đóng (tứ giác có các đỉnh liên tiếp tạo thành các vectơ cạnh) bằng không, điều này chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng. Do đó, mệnh đề sai là: B. Vì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=0$ nên N là trung điểm của đoạn MP. Câu 66. Để xác định mệnh đề nào sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: $\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$. - Đây là một mệnh đề đúng vì công thức này là công thức tính trung điểm của hai véc-tơ. B. Vì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{0}$ nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. - Đây là một mệnh đề đúng vì nếu tổng các véc-tơ theo thứ tự từ A đến B, B đến C, C đến D và D trở lại A bằng véc-tơ null, thì bốn điểm này phải nằm trên cùng một mặt phẳng. C. Vì $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{0}$ nên N là trung điểm đoạn NP. - Đây là một mệnh đề sai. Nếu $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{0}$, điều này chỉ có nghĩa là M và P đối xứng qua N, nhưng không nhất thiết N phải là trung điểm của đoạn NP. Ví dụ, nếu M và P nằm ở hai phía của N và có cùng khoảng cách đến N, thì $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{0}$ vẫn đúng, nhưng N không phải là trung điểm của NP. D. Từ hệ thức $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AC} - 8\overrightarrow{AD}$ ta suy ra ba véc-tơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$ đồng phẳng. - Đây là một mệnh đề đúng vì nếu một véc-tơ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai véc-tơ khác, thì ba véc-tơ đó phải đồng phẳng. Vậy, mệnh đề sai là: C. Vì $\overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{0}$ nên N là trung điểm đoạn NP. Đáp án: C. Câu 67. Để xác định mệnh đề nào sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Ba véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng. - Đây là định nghĩa đúng về tính đồng phẳng của ba véctơ. Do đó, mệnh đề này đúng. B. Ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng. - Nếu ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một, chúng tạo thành một hệ tọa độ Oxyz. Trong hệ tọa độ này, ba tia không nằm trên cùng một mặt phẳng, do đó chúng không đồng phẳng. Mệnh đề này đúng. C. Cho hai véctơ không cùng phương $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$. Khi đó ba véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho $\overrightarrow c=m\overrightarrow a+n\overrightarrow b$, ngoài ra cặp số m, n là duy nhất. - Điều này đúng theo định lý về tính đồng phẳng của ba véctơ. Nếu ba véctơ đồng phẳng, thì véctơ thứ ba có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai véctơ còn lại nhân với các hệ số m và n. Hơn nữa, cặp số m, n là duy nhất. Mệnh đề này đúng. D. Nếu có $m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=\overrightarrow 0$ và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng. - Điều này đúng theo định lý về tính đồng phẳng của ba véctơ. Nếu có một tổ hợp tuyến tính của ba véctơ bằng véctơ null và ít nhất một trong các hệ số khác 0, thì ba véctơ đó đồng phẳng. Mệnh đề này đúng. Từ các phân tích trên, tất cả các mệnh đề đều đúng. Tuy nhiên, nếu phải chọn một mệnh đề sai, chúng ta có thể thấy rằng không có mệnh đề nào sai trong các lựa chọn đã cho. Do đó, câu trả lời là: Không có mệnh đề sai trong các lựa chọn đã cho. Câu 68. Để xác định mệnh đề nào sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Nếu $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ không đồng phẳng thì từ $m\overrightarrow a+n\overrightarrow b+p\overrightarrow c=0$ ta suy ra $m=n=p=0.$ - Đây là một mệnh đề đúng. Nếu ba vectơ không đồng phẳng, thì chỉ có thể có duy nhất một tổ hợp tuyến tính của chúng bằng vectơ null khi tất cả các hệ số đều bằng 0. B. Nếu có $m\overrightarrow a+n\overrightarrow b+p\overrightarrow{c}=0.$ trong đó $m^2+n^2+p^2>0$ thì $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng. - Đây cũng là một mệnh đề đúng. Nếu tồn tại các số thực $m, n, p$ không đồng thời bằng 0 sao cho $m\overrightarrow a+n\overrightarrow b+p\overrightarrow{c}=0$, thì ba vectơ $\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c$ phải đồng phẳng. C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m+n+p\ne0$ ta có $m\overrightarrow a+n\overrightarrow b+p\overrightarrow c=\overrightarrow0$ thì $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng. - Đây là một mệnh đề sai. Điều kiện $m+n+p\ne0$ không đủ để đảm bảo rằng ba vectơ $\overrightarrow a, \overrightarrow b, \overrightarrow c$ đồng phẳng. Ví dụ, nếu $m = 1, n = -1, p = 0$, ta có $m + n + p = 0$, nhưng điều này không cung cấp thông tin về sự đồng phẳng của ba vectơ. D. Nếu giá của a, b, c đồng qui thì $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng. - Đây là một mệnh đề đúng. Nếu giá của ba vectơ đồng qui, tức là chúng nằm trên cùng một đường thẳng hoặc có điểm chung, thì ba vectơ đó phải đồng phẳng. Vậy, mệnh đề sai là: C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m+n+p\ne0$ ta có $m\overrightarrow a+n\overrightarrow b+p\overrightarrow c=\overrightarrow0$ thì $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ đồng phẳng. Câu 69. Để xác định các vectơ đồng phẳng trong hình hộp $ABCD,A_1B_1C_1D_1$, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một. A. $\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BD_1}, \overrightarrow{BC_1}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ nằm trên mặt đáy $ABCD$. - $\overrightarrow{BD_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $D_1$ của hình hộp. - $\overrightarrow{BC_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $C_1$ của hình hộp. - Các vectơ này không nằm trên cùng một mặt phẳng vì $\overrightarrow{BD}$ nằm trên mặt đáy còn $\overrightarrow{BD_1}$ và $\overrightarrow{BC_1}$ đi qua các đỉnh ở phía trên. B. $\overrightarrow{BA_1}, \overrightarrow{BD_1}, \overrightarrow{BD}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BA_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $A_1$ của hình hộp. - $\overrightarrow{BD_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $D_1$ của hình hộp. - $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $D$ của hình hộp. - Các vectơ này nằm trên cùng một mặt phẳng vì chúng đều xuất phát từ đỉnh $B$ và nằm trên mặt phẳng bao gồm các đỉnh $B, A_1, D_1, D$. C. $\overrightarrow{BA_1}, \overrightarrow{BD_1}, \overrightarrow{BC}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BA_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $A_1$ của hình hộp. - $\overrightarrow{BD_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $D_1$ của hình hộp. - $\overrightarrow{BC}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $C$ của hình hộp. - Các vectơ này không nằm trên cùng một mặt phẳng vì $\overrightarrow{BC}$ nằm trên mặt đáy còn $\overrightarrow{BA_1}$ và $\overrightarrow{BD_1}$ đi qua các đỉnh ở phía trên. D. $\overrightarrow{BA_1}, \overrightarrow{BD_1}, \overrightarrow{BC_1}$ - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BA_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $A_1$ của hình hộp. - $\overrightarrow{BD_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $D_1$ của hình hộp. - $\overrightarrow{BC_1}$ là vectơ từ đỉnh $B$ đến đỉnh $C_1$ của hình hộp. - Các vectơ này không nằm trên cùng một mặt phẳng vì chúng đi qua các đỉnh ở phía trên và không chung một mặt phẳng. Vậy khẳng định đúng là: B. $\overrightarrow{BA_1}, \overrightarrow{BD_1}, \overrightarrow{BD}$ đồng phẳng. Câu 70. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm I và K: - I là tâm hình bình hành ABEF, do đó I nằm ở trung điểm của đường chéo AE và BF. - K là tâm hình bình hành BCGF, do đó K nằm ở trung điểm của đường chéo BG và CF. Bây giờ, ta kiểm tra từng khẳng định: A. $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AK},\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ B đến D, $\overrightarrow{AK}$ là vectơ từ A đến K, và $\overrightarrow{GF}$ là vectơ từ G đến F. - Để kiểm tra xem ba vectơ này có đồng phẳng hay không, ta cần xem xét chúng có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ nằm trong mặt phẳng ABCD, $\overrightarrow{GF}$ nằm trong mặt phẳng EFGH, và $\overrightarrow{AK}$ nằm trong mặt phẳng ABEF. - Vì $\overrightarrow{AK}$ không nằm trong mặt phẳng ABCD hoặc EFGH, nên ba vectơ này không đồng phẳng. B. $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{IK},\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ B đến D, $\overrightarrow{IK}$ là vectơ từ I đến K, và $\overrightarrow{GF}$ là vectơ từ G đến F. - Để kiểm tra xem ba vectơ này có đồng phẳng hay không, ta cần xem xét chúng có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ nằm trong mặt phẳng ABCD, $\overrightarrow{GF}$ nằm trong mặt phẳng EFGH, và $\overrightarrow{IK}$ nằm trong mặt phẳng BCGF. - Vì $\overrightarrow{IK}$ không nằm trong mặt phẳng ABCD hoặc EFGH, nên ba vectơ này không đồng phẳng. C. $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{EK},\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ B đến D, $\overrightarrow{EK}$ là vectơ từ E đến K, và $\overrightarrow{GF}$ là vectơ từ G đến F. - Để kiểm tra xem ba vectơ này có đồng phẳng hay không, ta cần xem xét chúng có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ nằm trong mặt phẳng ABCD, $\overrightarrow{GF}$ nằm trong mặt phẳng EFGH, và $\overrightarrow{EK}$ nằm trong mặt phẳng EFGH. - Vì $\overrightarrow{EK}$ nằm trong mặt phẳng EFGH, nên ba vectơ này đồng phẳng. D. $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{IK},\overrightarrow{GC}$ đồng phẳng. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ B đến D, $\overrightarrow{IK}$ là vectơ từ I đến K, và $\overrightarrow{GC}$ là vectơ từ G đến C. - Để kiểm tra xem ba vectơ này có đồng phẳng hay không, ta cần xem xét chúng có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{BD}$ nằm trong mặt phẳng ABCD, $\overrightarrow{GC}$ nằm trong mặt phẳng BCGF, và $\overrightarrow{IK}$ nằm trong mặt phẳng BCGF. - Vì $\overrightarrow{IK}$ không nằm trong mặt phẳng ABCD, nên ba vectơ này không đồng phẳng. Vậy khẳng định đúng là: C. $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{EK},\overrightarrow{GF}$ đồng phẳng. Câu 71. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định về các điểm I và K trong hình hộp ABCD.A'B'C'D'. 1. Khẳng định 1: I là trung điểm của đoạn thẳng AA' và BB'. - Vì I là tâm của hình bình hành ABB'A', nên I là giao điểm của hai đường chéo AA' và BB'. Do đó, I là trung điểm của cả AA' và BB'. Khẳng định này đúng. 2. Khẳng định 2: K là trung điểm của đoạn thẳng CC' và DD'. - Vì K là tâm của hình bình hành BCC'B', nên K là giao điểm của hai đường chéo CC' và DD'. Do đó, K là trung điểm của cả CC' và DD'. Khẳng định này đúng. 3. Khẳng định 3: I và K nằm trên cùng một đường thẳng. - Ta cần kiểm tra xem I và K có nằm trên cùng một đường thẳng hay không. Vì I là trung điểm của AA' và BB', và K là trung điểm của CC' và DD', ta có thể suy ra rằng I và K không nằm trên cùng một đường thẳng vì chúng thuộc các mặt khác nhau của hình hộp và không có mối liên hệ trực tiếp về vị trí trên cùng một đường thẳng. Khẳng định này sai. 4. Khẳng định 4: I và K là trung điểm của các đường chéo của hình bình hành ABB'A' và BCC'B' tương ứng. - Như đã phân tích ở trên, I là trung điểm của AA' và BB', và K là trung điểm của CC' và DD'. Do đó, I và K là trung điểm của các đường chéo của hình bình hành ABB'A' và BCC'B' tương ứng. Khẳng định này đúng. Từ các phân tích trên, khẳng định sai là: - Khẳng định 3: I và K nằm trên cùng một đường thẳng. Đáp án: Khẳng định sai là khẳng định 3.