Cho biểu thức: $P=\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}}+\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\left(\frac{\sqrt{a}+1\frac{}{}}{\sqrt{a}-1}+\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\right)$...

Điều kiện xác định: \( a \geq 0 \) và \( a \neq 1 \). a) Rút gọn \( P \): Ta có: \[ P = \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} - \frac{a\sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{a}} + \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \left( \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} \right) \] Chúng ta sẽ lần lượt rút gọn từng phần của biểu thức này. Phần đầu tiên: \[ \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}^2 - 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \sqrt{a} + 1 \] Phần thứ hai: \[ \frac{a\sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}^2 + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} = \sqrt{a} - 1 \] Phần thứ ba: \[ \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \left( \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} \right) \] Chúng ta sẽ tính từng thành phần trong ngoặc đơn: \[ \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{(\sqrt{a} + 1)^2 + (\sqrt{a} - 1)^2}{(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)} = \frac{a + 2\sqrt{a} + 1 + a - 2\sqrt{a} + 1}{a - 1} = \frac{2a + 2}{a - 1} = 2 \] Do đó: \[ \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \cdot 2 = 2 \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) = 2 \left( \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \right) = 2 \left( \frac{a - 1}{\sqrt{a}} \right) = 2 \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \] Tổng lại: \[ P = (\sqrt{a} + 1) - (\sqrt{a} - 1) + 2 \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) = 2 + 2 \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) \] b) Tìm giá trị của \( a \) sao cho \( P = 7 \): \[ 2 + 2 \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) = 7 \] \[ 2 \left( \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} \right) = 5 \] \[ \sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{5}{2} \] Gọi \( t = \sqrt{a} \), ta có: \[ t - \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \] \[ 2t^2 - 5t - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 16}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{4} \] Vì \( t = \sqrt{a} \geq 0 \), ta chọn: \[ t = \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \] Do đó: \[ \sqrt{a} = \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \] \[ a = \left( \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right)^2 \] Đáp số: \[ a = \left( \frac{5 + \sqrt{41}}{4} \right)^2 \]