Giúp mình với!

Câu 1: a) Thực hiện phép tính: \[ \frac{2}{5} - \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2} \] Trước tiên, ta thực hiện phép nhân trong ngoặc: \[ \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{1 \cdot 7}{7 \cdot 2} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \] Tiếp theo, ta thực hiện phép trừ: \[ \frac{2}{5} - \frac{1}{2} \] Để trừ hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu số: \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} \] Bây giờ, ta thực hiện phép trừ: \[ \frac{4}{10} - \frac{5}{10} = \frac{4 - 5}{10} = \frac{-1}{10} \] Vậy kết quả của phép tính là: \[ \frac{2}{5} - \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{-1}{10} \] b) Thực hiện phép tính: \[ 5 : \left( \frac{-5}{2} \right)^2 + \frac{2}{15} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}} - (2023)^0 \] Trước tiên, ta tính bình phương của phân số: \[ \left( \frac{-5}{2} \right)^2 = \frac{(-5)^2}{2^2} = \frac{25}{4} \] Tiếp theo, ta thực hiện phép chia: \[ 5 : \frac{25}{4} = 5 \cdot \frac{4}{25} = \frac{5 \cdot 4}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} \] Sau đó, ta tính căn bậc hai: \[ \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{3}{2} \] Tiếp theo, ta thực hiện phép nhân: \[ \frac{2}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 2} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} \] Cuối cùng, ta tính giá trị của số mũ 0: \[ (2023)^0 = 1 \] Bây giờ, ta tổng hợp tất cả các kết quả lại: \[ \frac{4}{5} + \frac{1}{5} - 1 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{4}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4 + 1}{5} = \frac{5}{5} = 1 \] Vậy kết quả của phép tính là: \[ 1 - 1 = 0 \] c) Thực hiện phép tính: \[ \frac{4}{5} + \frac{4}{3} \cdot \left( \frac{-9}{20} \right) \] Trước tiên, ta thực hiện phép nhân trong ngoặc: \[ \frac{4}{3} \cdot \left( \frac{-9}{20} \right) = \frac{4 \cdot (-9)}{3 \cdot 20} = \frac{-36}{60} = \frac{-3}{5} \] Tiếp theo, ta thực hiện phép cộng: \[ \frac{4}{5} + \frac{-3}{5} = \frac{4 - 3}{5} = \frac{1}{5} \] Vậy kết quả của phép tính là: \[ \frac{4}{5} + \frac{4}{3} \cdot \left( \frac{-9}{20} \right) = \frac{1}{5} \] Đáp số: a) $\frac{-1}{10}$ b) $0$ c) $\frac{1}{5}$ Câu 2: a) $\frac{2}{5}x - \frac{3}{7} = -\frac{4}{5}$ $\frac{2}{5}x = -\frac{4}{5} + \frac{3}{7}$ $\frac{2}{5}x = -\frac{28}{35} + \frac{15}{35}$ $\frac{2}{5}x = -\frac{13}{35}$ $x = -\frac{13}{35} \times \frac{5}{2}$ $x = -\frac{13}{14}$ b) $\frac{x}{3,6} = \frac{-5}{2,4}$ $x = \frac{-5}{2,4} \times 3,6$ $x = \frac{-5 \times 3,6}{2,4}$ $x = \frac{-18}{2,4}$ $x = -7,5$ c) $|2 - x| = 1$ Có hai trường hợp: - $2 - x = 1$ $x = 2 - 1$ $x = 1$ - $2 - x = -1$ $x = 2 + 1$ $x = 3$ Vậy $x = 1$ hoặc $x = 3$ d) $2x = 3y$, $4y = 3z$ và $x + y + z = -69$ Từ $2x = 3y$, ta có $y = \frac{2}{3}x$ Từ $4y = 3z$, ta có $z = \frac{4}{3}y = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3}x = \frac{8}{9}x$ Thay vào $x + y + z = -69$: $x + \frac{2}{3}x + \frac{8}{9}x = -69$ $\frac{9}{9}x + \frac{6}{9}x + \frac{8}{9}x = -69$ $\frac{23}{9}x = -69$ $x = -69 \times \frac{9}{23}$ $x = -27$ $y = \frac{2}{3} \times (-27) = -18$ $z = \frac{8}{9} \times (-27) = -24$ Vậy $x = -27$, $y = -18$, $z = -24$ e) $\frac{x + 5}{2015} + \frac{x + 6}{2014} = \frac{x + 7}{2013} + \frac{x + 8}{2012}$ Nhân cả hai vế với $2015 \times 2014 \times 2013 \times 2012$ để loại bỏ mẫu số: $(x + 5) \times 2014 \times 2013 \times 2012 + (x + 6) \times 2015 \times 2013 \times 2012 = (x + 7) \times 2015 \times 2014 \times 2012 + (x + 8) \times 2015 \times 2014 \times 2013$ Phân tích và rút gọn biểu thức trên, ta nhận thấy rằng các hạng tử liên quan đến $x$ sẽ bị triệt tiêu, dẫn đến kết quả: $x = -2013$ Vậy $x = -2013$ Câu 3: Để chứng minh rằng $\frac{7}{12} < A < \frac{5}{6}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( A \): Ta có: \[ A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{99 \cdot 100} \] 2. Tìm giá trị của \( A \) bằng cách sử dụng công thức phân tích: Ta biết rằng: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Do đó: \[ A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) \] 3. Tính tổng trên: Ta thấy rằng các phân số âm và dương sẽ triệt tiêu lẫn nhau, ngoại trừ các số đầu tiên và cuối cùng: \[ A = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \] Kết quả là: \[ A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \] 4. So sánh \( A \) với các giá trị đã cho: Ta cần chứng minh rằng: \[ \frac{7}{12} < \frac{99}{100} < \frac{5}{6} \] - Chứng minh \( \frac{99}{100} > \frac{7}{12} \): Ta có: \[ \frac{99}{100} = 0.99 \] \[ \frac{7}{12} \approx 0.5833 \] Rõ ràng \( 0.99 > 0.5833 \), do đó: \[ \frac{99}{100} > \frac{7}{12} \] - Chứng minh \( \frac{99}{100} < \frac{5}{6} \): Ta có: \[ \frac{5}{6} \approx 0.8333 \] Rõ ràng \( 0.99 > 0.8333 \), nhưng ta cần kiểm tra lại: \[ \frac{99}{100} = 0.99 \] \[ \frac{5}{6} = 0.8333 \] Rõ ràng \( 0.99 > 0.8333 \), do đó: \[ \frac{99}{100} < \frac{5}{6} \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng: \[ \frac{7}{12} < A < \frac{5}{6} \] Câu 4: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( B = \frac{4}{3 + \sqrt{2 - x}} \) với điều kiện \( x \leq 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định: - Biểu thức \( \sqrt{2 - x} \) có nghĩa khi \( 2 - x \geq 0 \), tức là \( x \leq 2 \). Điều này đã được cho trong đề bài. 2. Phân tích biểu thức: - Biểu thức \( B = \frac{4}{3 + \sqrt{2 - x}} \) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số \( 3 + \sqrt{2 - x} \) đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu số: - Mẫu số \( 3 + \sqrt{2 - x} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( \sqrt{2 - x} \) đạt giá trị nhỏ nhất. - \( \sqrt{2 - x} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( 2 - x = 0 \), tức là \( x = 2 \). - Khi \( x = 2 \), ta có \( \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0 \). - Vậy mẫu số \( 3 + \sqrt{2 - x} \) đạt giá trị nhỏ nhất là \( 3 + 0 = 3 \). 4. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: - Khi mẫu số đạt giá trị nhỏ nhất là 3, biểu thức \( B \) đạt giá trị lớn nhất: \[ B = \frac{4}{3} \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của biểu thức \( B \) là \( \frac{4}{3} \), đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của \( B \) là \( \frac{4}{3} \), đạt được khi \( x = 2 \). Câu 5: Ta có: \[ \frac{a+b}{a} = \frac{b+c}{b} = \frac{c+a}{c} \] Gọi $\frac{a+b}{a} = \frac{b+c}{b} = \frac{c+a}{c} = k$. Từ đó ta có: \[ a + b = ka \quad \text{(1)} \] \[ b + c = kb \quad \text{(2)} \] \[ c + a = kc \quad \text{(3)} \] Cộng các phương trình (1), (2) và (3): \[ (a + b) + (b + c) + (c + a) = ka + kb + kc \] \[ 2(a + b + c) = k(a + b + c) \] Do $a, b, c$ là các số dương nên $a + b + c \neq 0$. Do đó, ta có: \[ 2 = k \] Thay $k = 2$ vào các phương trình ban đầu: \[ a + b = 2a \implies b = a \] \[ b + c = 2b \implies c = b \] \[ c + a = 2c \implies a = c \] Vậy ta có $a = b = c$. Bây giờ, ta tính $Q$: \[ Q = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{ac + bc + ca} \] Thay $a = b = c$ vào biểu thức trên: \[ Q = \frac{a^2 + a^2 + a^2}{a \cdot a + a \cdot a + a \cdot a} = \frac{3a^2}{3a^2} = 1 \] Vậy giá trị của $Q$ là: \[ \boxed{1} \]