Chứng Minh: 3^76-2^76 chia hết cho 13

Để chứng minh rằng \(3^{76} - 2^{76}\) chia hết cho 13, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp và tính chất đồng dư. Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ bản Ta kiểm tra \(3^4 - 2^4\) chia hết cho 13: \[3^4 = 81\] \[2^4 = 16\] \[3^4 - 2^4 = 81 - 16 = 65\] \[65 \div 13 = 5\] (chia hết) Bước 2: Giả sử \(3^{4k} - 2^{4k}\) chia hết cho 13 với \(k\) là số tự nhiên. Ta cần chứng minh \(3^{4(k+1)} - 2^{4(k+1)}\) cũng chia hết cho 13. Bước 3: Ta có: \[3^{4(k+1)} - 2^{4(k+1)} = 3^{4k+4} - 2^{4k+4}\] \[= 3^4 \cdot 3^{4k} - 2^4 \cdot 2^{4k}\] Áp dụng tính chất phân phối: \[= 3^4 \cdot 3^{4k} - 2^4 \cdot 2^{4k}\] \[= 81 \cdot 3^{4k} - 16 \cdot 2^{4k}\] Bước 4: Ta thấy rằng \(81 \equiv 3 \pmod{13}\) và \(16 \equiv 3 \pmod{13}\). Do đó: \[81 \cdot 3^{4k} - 16 \cdot 2^{4k} \equiv 3 \cdot 3^{4k} - 3 \cdot 2^{4k} \pmod{13}\] \[= 3(3^{4k} - 2^{4k})\] Theo giả thiết quy nạp, \(3^{4k} - 2^{4k}\) chia hết cho 13, nên: \[3(3^{4k} - 2^{4k}) \equiv 0 \pmod{13}\] Vậy \(3^{4(k+1)} - 2^{4(k+1)}\) chia hết cho 13. Bước 5: Kết luận Vì \(3^{4k} - 2^{4k}\) chia hết cho 13 với mọi số tự nhiên \(k\), nên \(3^{76} - 2^{76}\) (với \(k = 19\)) cũng chia hết cho 13. Do đó, ta đã chứng minh được \(3^{76} - 2^{76}\) chia hết cho 13.