câu hỏi đúng sai

Câu 3. Trước tiên, ta sẽ xác định các vectơ liên quan đến các điểm M và N. - M là trung điểm của AB, nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. - N là trung điểm của AC, nên $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương án: a) Ta cần kiểm tra xem $2\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA}$ có đúng hay không. Ta có: \[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] Nhân cả hai vế với 2: \[ 2\overrightarrow{CM} = 2(\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} \] Ta thấy rằng: \[ 2\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB} \] Do đó, phương án a) đúng. b) Ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow{AB} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow{BN}$ có đúng hay không. Ta có: \[ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Nhân cả hai vế với $\frac{4}{3}$: \[ \frac{4}{3}\overrightarrow{BN} = \frac{4}{3}(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}) = -\frac{4}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} \] Ta cũng có: \[ -\frac{2}{3}\overrightarrow{CM} = -\frac{2}{3}(\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = -\frac{2}{3}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \] Cộng hai vế lại: \[ -\frac{2}{3}\overrightarrow{CM} - \frac{4}{3}\overrightarrow{BN} = (-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}) + (-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}) \] \[ = -\frac{2}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{4}{3}\overrightarrow{AB} \] \[ = -\frac{2}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CA} - \frac{5}{3}\overrightarrow{AB} \] \[ = -\frac{5}{3}\overrightarrow{AB} \] Do đó, phương án b) sai. c) Ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow{AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow{CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$ có đúng hay không. Ta đã biết: \[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] Nhân cả hai vế với $\frac{4}{3}$: \[ \frac{4}{3}\overrightarrow{CM} = \frac{4}{3}(\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = \frac{4}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} \] Ta cũng có: \[ \overrightarrow{BN} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Nhân cả hai vế với $\frac{2}{3}$: \[ \frac{2}{3}\overrightarrow{BN} = \frac{2}{3}(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}) = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \] Cộng hai vế lại: \[ \frac{4}{3}\overrightarrow{CM} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BN} = (\frac{4}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}) + (-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}) \] \[ = \frac{4}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \] \[ = \overrightarrow{AC} \] Do đó, phương án c) đúng. d) Ta cần kiểm tra xem $\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow{CM}$ có đúng hay không. Ta đã biết: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Ta cũng có: \[ \overrightarrow{BN} = -\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Nhân cả hai vế với $\frac{1}{3}$: \[ \frac{1}{3}\overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}) = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC} \] Ta cũng có: \[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] Nhân cả hai vế với $-\frac{1}{3}$: \[ -\frac{1}{3}\overrightarrow{CM} = -\frac{1}{3}(\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}) = -\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} \] Cộng hai vế lại: \[ \frac{1}{3}\overrightarrow{BN} - \frac{1}{3}\overrightarrow{CM} = (-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC}) + (-\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AB}) \] \[ = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} \] \[ = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] \[ = \overrightarrow{MN} \] Do đó, phương án d) đúng. Kết luận: Các phương án đúng là a), c) và d). Câu 4. Trước tiên, ta sẽ xác định các vectơ trong hình vuông ABCD với tâm O và cạnh bằng a. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{DC}$ là vectơ từ D đến C. - $\overrightarrow{OC}$ là vectơ từ O đến C. - $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A. - $\overrightarrow{BC}$ là vectơ từ B đến C. - $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ B đến D. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương án: a) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = 2a^2$ - $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ là hai vectơ cùng phương và ngược chiều. - Tích vô hướng của hai vectơ cùng phương và ngược chiều là: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{DC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{DC}| \cdot \cos(180^\circ) = a \cdot a \cdot (-1) = -a^2$. - Vậy phương án a) sai. b) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OC} = a^2$ - $\overrightarrow{OC}$ là vectơ từ tâm O đến đỉnh C, tức là $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chéo của hình vuông, do đó $|\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}$. - $\overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}a\sqrt{2}$. - $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OC}$ tạo góc 45°. - Tích vô hướng của hai vectơ này là: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{OC}| \cdot \cos(45^\circ) = a \cdot \frac{1}{2}a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a \cdot \frac{1}{2}a \cdot 1 = \frac{1}{2}a^2$. - Vậy phương án b) sai. c) $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = -a^2$ - $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A, tức là $\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC}$. - $\overrightarrow{OC}$ đã được xác định ở trên là $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. - Tích vô hướng của hai vectơ này là: $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = (-\overrightarrow{AC}) \cdot \left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right) = -\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|^2 = -\frac{1}{2}(a\sqrt{2})^2 = -\frac{1}{2} \cdot 2a^2 = -a^2$. - Vậy phương án c) đúng. d) $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = a^2$ - $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ vì $\overrightarrow{AC}$ là vectơ chéo của hình vuông. - $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$. - Do đó, $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}$. - Ta có: $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC})$. - $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ vì hai vectơ này vuông góc với nhau. - $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AC}|^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$. - Vậy $(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD}) = 2a^2$. - Phương án d) sai. Kết luận: Đáp án đúng là c) $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{OC} = -a^2$.