Bài 5. (2 điểm). Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AB = AM. Gọi I là trung điểm của BM, tia AI cắt cạnh BC tại N. a) Chứng minh AI ⊥ BM và NB = NM. b) Trên tia đối của tia B...

Bài 5. a) Ta có AB = AM và I là trung điểm của BM nên AI là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác ABM. Vậy AI ⊥ BM và \(\widehat{BAI} = \widehat{MAI}\). Xét tam giác ABN và tam giác AMN: - AB = AM (theo đề bài) - AI là đường phân giác của góc BAM (chứng minh trên) - AN là cạnh chung Vậy tam giác ABN và tam giác AMN bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Do đó, NB = NM. b) Ta có BD = MC (theo đề bài) và AB = AM (theo đề bài). Suy ra AD = AC. Xét tam giác ABD và tam giác AMC: - AB = AM (theo đề bài) - BD = MC (theo đề bài) - AD = AC (chứng minh trên) Vậy tam giác ABD và tam giác AMC bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh). Do đó, \(\widehat{BAD} = \widehat{MAC}\). Ta có \(\widehat{BAN} = \widehat{MAN}\) (vì AI là đường phân giác của góc BAM) và \(\widehat{BAD} = \widehat{MAC}\) (chứng minh trên). Suy ra \(\widehat{DAN} = \widehat{MAN} + \widehat{BAD} = \widehat{MAN} + \widehat{MAC} = \widehat{MAC} + \widehat{MAN} = \widehat{CAN}\). Vậy tam giác DAN và tam giác CAN bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). Do đó, \(\widehat{DNA} = \widehat{CNA}\). Mặt khác, \(\widehat{DNA} + \widehat{CNA} = 180^\circ\) (hai góc kề bù). Suy ra \(\widehat{DNA} = \widehat{CNA} = 90^\circ\). Vậy ba điểm M, N, D thẳng hàng. Bài 5. a) Ta có: AB = AM nên tam giác ABM cân tại A. Mà I là trung điểm của BM nên AI là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác ABM. Suy ra AI $\perp$ BM và $\widehat{BAI}=\widehat{MAI}$ Ta có: $\widehat{BAN}=\widehat{MAN}$ (vì $\widehat{BAI}=\widehat{MAI}$) $\widehat{ABN}=\widehat{AMN}$ (cùng bù với $\widehat{ABM}$) AB = AM (theo đầu bài) Suy ra tam giác ABN = tam giác AMN (g.c.g) Suy ra NB = NM b) Ta có: $\widehat{BAN}=\widehat{MAN}$ (chứng minh ở phần a) $\widehat{ANB}=\widehat{ANM}$ (vì $\widehat{BNM}=180^{\circ}$) AB = AM (theo đầu bài) Suy ra tam giác ABN = tam giác AMN (g.c.g) Suy ra AN = AN Ta có: BD = MC (theo đầu bài) AB = AM (theo đầu bài) Suy ra AD = AC Xét tam giác AND và ANC có: AN = AN (chứng minh trên) AD = AC (chứng minh trên) $\widehat{DAN}=\widehat{CAN}$ (vì $\widehat{BAN}=\widehat{MAN}$) Suy ra tam giác AND = tam giác ANC (c.g.c) Suy ra $\widehat{AND}=\widehat{ANC}$ Mà $\widehat{AND}+\widehat{ANC}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) Suy ra $\widehat{AND}=\widehat{ANC}=90^{\circ}$ Suy ra ba điểm M, N, D thẳng hàng.