giúp em với ạ

Câu 1. Phương trình $2x(x^2-3)=0$ có thể được viết lại dưới dạng: \[ 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 3 = 0 \] 1. Xét phương trình $2x = 0$: \[ x = 0 \] 2. Xét phương trình $x^2 - 3 = 0$: \[ x^2 = 3 \] \[ x = \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{3} \] Vậy phương trình $2x(x^2-3)=0$ có ba nghiệm là: \[ x = 0, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3} \] Đáp số: Phương trình có 3 nghiệm. Câu 2: Căn bậc hai số học của 81 là: Bước 1: Xác định căn bậc hai số học. - Căn bậc hai số học của một số là số không âm khi nhân với chính nó bằng số ban đầu. Bước 2: Tìm số nào khi nhân với chính nó bằng 81. - Ta thử các số: - 9 × 9 = 81 Bước 3: Kết luận. - Số 9 là căn bậc hai số học của 81 vì 9 × 9 = 81 và 9 là số không âm. Vậy, căn bậc hai số học của 81 là 9. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tính $\sqrt[3]{-8}$. $\sqrt[3]{-8} = -2$ vì $(-2)^3 = -8$. Bước 2: Tính $\sqrt[3]{27}$. $\sqrt[3]{27} = 3$ vì $3^3 = 27$. Bước 3: Nhân 3 với $\sqrt[3]{27}$. $3 \times \sqrt[3]{27} = 3 \times 3 = 9$. Bước 4: Cộng kết quả của bước 1 và bước 3. $\sqrt[3]{-8} + 3 \times \sqrt[3]{27} = -2 + 9 = 7$. Vậy kết quả của phép tính $\sqrt[3]{-8} + 3 \times \sqrt[3]{27}$ là 7. Đáp số: 7. Câu 4. Để tìm điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{x^2 - 9} - \frac{1}{x} = 0$, ta cần đảm bảo rằng các mẫu số của các phân thức không bằng không. 1. Mẫu số của phân thức đầu tiên là $x^2 - 9$. Ta cần $x^2 - 9 \neq 0$. \[ x^2 - 9 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3 \text{ và } x \neq -3 \] 2. Mẫu số của phân thức thứ hai là $x$. Ta cần $x \neq 0$. Tóm lại, điều kiện xác định của phương trình là: \[ x \neq 3, \quad x \neq -3, \quad x \neq 0 \] Đáp số: Điều kiện xác định: \( x \neq 3, x \neq -3, x \neq 0 \). Câu 5: Để giải bất phương trình \(3x + 5 \geq -2x + 25\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Di chuyển các hạng tử chứa \(x\) sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 3x + 2x \geq 25 - 5 \] 2. Tính tổng các hạng tử ở mỗi vế: \[ 5x \geq 20 \] 3. Chia cả hai vế cho 5 để tìm giá trị của \(x\): \[ x \geq 4 \] Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \geq 4\). Đáp số: \(x \geq 4\). Câu 6. Để tính kết quả của phép tính $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} - 2$, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tính $(\sqrt{3} - 2)^2$ \[ (\sqrt{3} - 2)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3} \] Bước 2: Tính $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2}$ \[ \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2| \] Vì $\sqrt{3} \approx 1.732 < 2$, nên $\sqrt{3} - 2 < 0$. Do đó: \[ |\sqrt{3} - 2| = -( \sqrt{3} - 2 ) = 2 - \sqrt{3} \] Bước 3: Tính $2 - \sqrt{3} - 2$ \[ 2 - \sqrt{3} - 2 = -\sqrt{3} \] Vậy kết quả của phép tính $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} - 2$ là $-\sqrt{3}$. Câu 7. Để căn thức $\sqrt{2-3x}$ có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, ta có điều kiện: \[ 2 - 3x \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 2 \geq 3x \] \[ \frac{2}{3} \geq x \] \[ x \leq \frac{2}{3} \] Vậy điều kiện xác định là: \[ x \leq \frac{2}{3} \] Câu 8: Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x - 2y = 5 \\ 2x + 3y = 12\end{array}\right.$, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng trừ để tìm nghiệm của hệ phương trình. Bước 1: Nhân phương trình đầu tiên với 3 và nhân phương trình thứ hai với 2 để đồng nhất hệ số của y ở cả hai phương trình. \[ \left\{ \begin{array}{l} 3(3x - 2y) = 3 \cdot 5 \\ 2(2x + 3y) = 2 \cdot 12 \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} 9x - 6y = 15 \\ 4x + 6y = 24 \end{array} \right. \] Bước 2: Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ y. \[ (9x - 6y) + (4x + 6y) = 15 + 24 \] \[ 9x + 4x = 39 \] \[ 13x = 39 \] \[ x = \frac{39}{13} \] \[ x = 3 \] Bước 3: Thay giá trị của x vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm y. Ta chọn phương trình đầu tiên: \[ 3x - 2y = 5 \] \[ 3(3) - 2y = 5 \] \[ 9 - 2y = 5 \] \[ -2y = 5 - 9 \] \[ -2y = -4 \] \[ y = \frac{-4}{-2} \] \[ y = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (3, 2)$. Đáp số: $(3, 2)$. Câu 9. Để tính giá trị của biểu thức \( B = \sin 35^\circ + \sin 67^\circ - \cos 23^\circ - \cos 55^\circ \), ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích và tính chất của các hàm lượng giác. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: \[ \sin 67^\circ = \cos (90^\circ - 67^\circ) = \cos 23^\circ \] \[ \cos 55^\circ = \sin (90^\circ - 55^\circ) = \sin 35^\circ \] Do đó, biểu thức \( B \) có thể viết lại thành: \[ B = \sin 35^\circ + \cos 23^\circ - \cos 23^\circ - \sin 35^\circ \] Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy rằng các cặp số lượng giác giống nhau nhưng có dấu âm sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ B = (\sin 35^\circ - \sin 35^\circ) + (\cos 23^\circ - \cos 23^\circ) \] \[ B = 0 + 0 \] \[ B = 0 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) là: \[ B = 0 \] Câu 10. Để xác định số điểm chung của hai đường tròn (O; 4cm) và (O'; 2cm) với khoảng cách giữa tâm hai đường tròn là \( OO' = 6 \text{ cm} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính của hai đường tròn: - Đường tròn (O) có bán kính \( R = 4 \text{ cm} \). - Đường tròn (O') có bán kính \( r = 2 \text{ cm} \). 2. Tính tổng và hiệu của hai bán kính: - Tổng của hai bán kính: \( R + r = 4 + 2 = 6 \text{ cm} \). - Hiệu của hai bán kính: \( R - r = 4 - 2 = 2 \text{ cm} \). 3. So sánh khoảng cách giữa tâm hai đường tròn với tổng và hiệu của hai bán kính: - \( OO' = 6 \text{ cm} \). - \( R + r = 6 \text{ cm} \). - \( R - r = 2 \text{ cm} \). 4. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn: - Vì \( OO' = R + r \), hai đường tròn tiếp xúc ngoài. 5. Kết luận số điểm chung: - Khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài, chúng có đúng 1 điểm chung. Vậy số điểm chung của hai đường tròn là 1 điểm. Câu 11: Để xác định khoảng cách OM khi điểm M nằm trên đường tròn (O; 3cm), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Hiểu rõ về đường tròn: - Đường tròn (O; 3cm) có tâm là O và bán kính là 3cm. 2. Xác định vị trí của điểm M: - Điểm M nằm trên đường tròn, nghĩa là M nằm trên đường biên của đường tròn. 3. Khoảng cách từ tâm đến điểm trên đường tròn: - Khi một điểm nằm trên đường tròn, khoảng cách từ tâm của đường tròn đến điểm đó chính là bán kính của đường tròn. Do đó, khoảng cách OM sẽ bằng bán kính của đường tròn. Kết luận: OM = 3cm Đáp số: OM = 3cm Câu 12. Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: - $\widehat{A} = 90^\circ$ - $\widehat{C} = 60^\circ$ Do đó, góc B sẽ là: \[ \widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{C} = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] Trong tam giác vuông, nếu một góc là 30°, thì cạnh đối diện với góc đó bằng nửa cạnh huyền. Do đó, ta có: \[ AB = \frac{1}{2}BC \] Ta cần tính tỉ lệ giữa cạnh góc vuông AC và cạnh huyền BC. Ta sử dụng định lý Pythagoras để tìm AC: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay $AB = \frac{1}{2}BC$ vào: \[ BC^2 = \left( \frac{1}{2}BC \right)^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = \frac{1}{4}BC^2 + AC^2 \] \[ BC^2 - \frac{1}{4}BC^2 = AC^2 \] \[ \frac{3}{4}BC^2 = AC^2 \] \[ AC^2 = \frac{3}{4}BC^2 \] \[ AC = \sqrt{\frac{3}{4}}BC \] \[ AC = \frac{\sqrt{3}}{2}BC \] Tỉ lệ giữa cạnh góc vuông AC và cạnh huyền BC là: \[ \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Đáp số: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ Câu 13: 1) Giải các phương trình sau: a) $(x+1)(2x-5)=0$ - Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định. - Phương trình có dạng tích, do đó ta giải như sau: \[ (x+1)(2x-5)=0 \] Ta có: \[ x+1=0 \quad \text{hoặc} \quad 2x-5=0 \] Giải các phương trình này: \[ x=-1 \quad \text{hoặc} \quad 2x=5 \implies x=\frac{5}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x=-1 \quad \text{hoặc} \quad x=\frac{5}{2} \] b) $\frac{x+1}{x-3}+\frac{x+1}{x+3}=\frac{2(x^2+5)}{x^2-9}$ - Điều kiện xác định: $x \neq 3$, $x \neq -3$. - Nhân cả hai vế với $(x-3)(x+3)$ để khử mẫu: \[ (x+1)(x+3) + (x+1)(x-3) = 2(x^2+5) \] Thực hiện phép nhân: \[ (x^2 + 3x + x + 3) + (x^2 - 3x + x - 3) = 2x^2 + 10 \] Kết hợp các hạng tử: \[ x^2 + 4x + 3 + x^2 - 2x - 3 = 2x^2 + 10 \] \[ 2x^2 + 2x = 2x^2 + 10 \] Trừ $2x^2$ từ cả hai vế: \[ 2x = 10 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x = 5 \] Kiểm tra lại điều kiện xác định: $x = 5$ thỏa mãn điều kiện $x \neq 3$ và $x \neq -3$. Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 5 \] 2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}l2x+y=5\\3x-2y=11\end{array}\right.$ - Nhân phương trình đầu tiên với 2: \[ 4x + 2y = 10 \] - Cộng phương trình này với phương trình thứ hai: \[ 4x + 2y + 3x - 2y = 10 + 11 \] \[ 7x = 21 \] Chia cả hai vế cho 7: \[ x = 3 \] - Thay $x = 3$ vào phương trình đầu tiên: \[ 2(3) + y = 5 \] \[ 6 + y = 5 \] \[ y = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = (3, -1) \] 3) Rút gọn biểu thức: $A=\sqrt{4+\sqrt{11}}.\sqrt{4-\sqrt{11}}-\sqrt{45}+\sqrt{20}$ - Áp dụng công thức nhân liên hợp: \[ \sqrt{4+\sqrt{11}}.\sqrt{4-\sqrt{11}} = \sqrt{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})} = \sqrt{16 - 11} = \sqrt{5} \] - Rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} \] \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \] - Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \] Kết hợp các hạng tử: \[ A = (\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) = 0 \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \[ A = 0 \] Câu 14: Gọi giá niêm yết của mặt hàng A là x (đơn vị: nghìn đồng), giá niêm yết của mặt hàng B là y (đơn vị: nghìn đồng, điều kiện: x > 0, y > 0). Theo đề bài, ta có: - Ông Nam mua 2 món hàng A và 1 món hàng B với giá đã giảm còn 362 000 đồng, tức là: \[ 2 \times 0.8x + 1 \times 0.85y = 362 \] \[ 1.6x + 0.85y = 362 \quad \text{(1)} \] - Bà Hoa mua 3 món hàng A và 2 món hàng B với giá đã giảm trong khung giờ vàng, tức là: \[ 3 \times 0.7x + 2 \times 0.75y = 362 \] \[ 2.1x + 1.5y = 362 \quad \text{(2)} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này. Nhân phương trình (1) với 2 để dễ dàng trừ: \[ 3.2x + 1.7y = 724 \quad \text{(3)} \] Nhân phương trình (2) với 1.7 để dễ dàng trừ: \[ 3.57x + 2.55y = 615.4 \quad \text{(4)} \] Trừ phương trình (3) từ phương trình (4): \[ (3.57x + 2.55y) - (3.2x + 1.7y) = 615.4 - 724 \] \[ 0.37x + 0.85y = -108.6 \] Chia cả hai vế cho 0.37: \[ x + 2.3y = -293.51 \quad \text{(5)} \] Giải phương trình (5) để tìm x: \[ x = -293.51 - 2.3y \] Thay vào phương trình (1): \[ 1.6(-293.51 - 2.3y) + 0.85y = 362 \] \[ -469.616 - 3.68y + 0.85y = 362 \] \[ -469.616 - 2.83y = 362 \] \[ -2.83y = 831.616 \] \[ y = -293.51 \] Do đó, giá niêm yết của mặt hàng B là 293.51 nghìn đồng. Thay y vào phương trình (5): \[ x = -293.51 - 2.3 \times (-293.51) \] \[ x = -293.51 + 675.073 \] \[ x = 381.563 \] Do đó, giá niêm yết của mặt hàng A là 381.563 nghìn đồng. Đáp số: Giá niêm yết của mặt hàng A là 381.563 nghìn đồng, giá niêm yết của mặt hàng B là 293.51 nghìn đồng.